Markov-Ungleichung

15.08.2019, 11:56

eroy

Markov-Ungleichung

Hallo Leute,

ich kenne die Markov-Ungleichung = $\begin{eqnarray*} Pr[X \geq t] \leq \frac{\mathbb E[X]}{t}. \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun BEIDE Zeichen "größer gleich" vertausche, muss ich dann auch den Bruch umkehren? D.h.,
$\begin{eqnarray*} Pr[X \leq t] \geq \frac{t}{\mathbb E[X]}. \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt?

Danke!

15.08.2019, 14:55

HAL 9000

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Tatsächlich ist (Gegenereignis!) $\begin{eqnarray*} Pr[X<t] = 1-Pr[X\geq t] \end{eqnarray*}$ , und daher kann allenfalls

$\begin{eqnarray*} Pr[X<t] \geq 1-\frac{\mathbb{E}[X]}{t} \end{eqnarray*}$

gefolgert werden. Deine "Kehrwertbildungs-Idee" ist - verzeih mir das offene Wort - himmelschreiender Blödsinn: Man setze nur mal $\begin{eqnarray*} t=2\cdot\mathbb{E}[X] \end{eqnarray*}$ ein... Augenzwinkern

P.S.: Du setzt hier wohl $\begin{eqnarray*} X\geq 0 \end{eqnarray*}$ voraus, ansonsten ist die Markov-Ungleichung nicht so wie oben anwendbar.

15.08.2019, 16:56

eroy

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Zitat:

Original von HAL 9000
himmelschreiender Blödsinn:

Danke nochmals für Deine Hilfe!

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