Wahrscheinlichkeit der Anzahl berechnen

15.08.2019, 17:04

Karaganoff

Wahrscheinlichkeit der Anzahl berechnen

Eine Wasserstraße wird von einer bekannten Anzahl von Schiffen befahren, wobei die Anzahl wenigstens 1 und maximal 9 beträgt.

Die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen „Anzahlen“ ist gesucht. Der Erwartungswert sind 5 Schiffe. 1 und 9 Fahrzeuge sind gleich unwahrscheinliche, aber immer noch mögliche Ereignisse (während 0 und 10 Fahrzeuge bereits unmögliche Ereignisse darstellen.) Generell gilt: Anzahlen mit der gleichen absoluten Differenz zum Erwartungswert sind gleich wahrscheinlich (2 und 8, 3 und 7 usw.), und je geringer diese Differenz ist, desto wahrscheinlicher sind sie.

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt diese Situation am besten? Vor allem aber würde ich gern eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Anzahl von Fahrzeugen besitzen, also berechnen können, wie wahrscheinlich das Auftreten von 1 oder 9, 2 oder 8, 3 oder 7 usw. Fahrzeugen ist.

Mir als absolutem Laien auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung schien in diesem Zusammenhang das Pascalsche Dreieck der Stufe 9 am meisten der Problembeschreibung zu entsprechen, also eines, wo auf der letzten Stufe die Werte 1 8 28 56 70 56 28 8 1 stehen.
Dann habe ich die Summe aus einem „Flügel“ berechnet (70+56+28 … =163) berechnet, und die Wahrscheinlichkeit war dann der Quotient aus dieser Summe und dem der Schiffsanzahl entsprechenden Wert in der Reihe. Also die Wahrscheinlichkeit von 5 Schiffen wäre 70/163=42,94%, die von 4 oder 6 Schiffen 163/56=34,36% usw.

Ich habe aber Zweifel, daß das ein brauchbarer Ansatz ist, und vermute, daß es viel einfacher geht. Möchte mich jemand helfen?

Vielen Dank

15.08.2019, 19:09

Dopap

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das mit dem Pascalschen Dreieck ist ein guter Gedanke.
Direkt lassen sich die Werte als Binomialkoeffizienten schreiben und berechnen.
Symmetrie und Erwartungswert E= 5 erfordern aber n=10 Schiffe mit p=0.5
Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Schiffe ist, dann ist in diesem Falle

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\binom nk p^n=\binom{10}{k}(\tfrac 12)^{10}=\frac{1}{1024}\binom{10}{k}\quad k=0,\cdots,10 \end{eqnarray*}$

Was aber für k=0 oder k=10 noch 2 mal die Wkt 1/1024 liefert. verwirrt

15.08.2019, 19:35

HAL 9000

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RE: Wahrscheinlichkeit der Anzahl berechnen

Zitat:

Original von Karaganoff
Ich habe aber Zweifel, daß das ein brauchbarer Ansatz ist,

Das ist doch bereits ein brauchbarer Ansatz, vor allem auch einer, den man modellmäßig leicht erklären kann:

Wir haben 8 Schiffe, von denen jedes unabhängig von den anderen entscheidet, die Wasserstraße zu befahren, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50%. Begleitet werden diese Schiffe von einem Lotsenschiff, welches immer fährt (auch allein, wenn es sein muss). Augenzwinkern

Zitat:

Original von Karaganoff
und vermute, daß es viel einfacher geht.

Klar gibt es auch andere Verteilungen, die deinen Bedingungen genügen, z.B. eine diskrete Dreiecksverteilung

$\begin{eqnarray*} p_k = \frac{5-|k-5|}{25} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,9 \end{eqnarray*}$ .

15.08.2019, 22:33

Karaganoff

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Binomialkoeffizient
Danke, Eure Bestätigung ist mir sehr wichtig.

Ich habe jetzt, da ich den Binomialkoeffizienten vom Computer berechnen lassen will, ein Basic-Programm geschrieben, das ich für die, die es interessiert, hier anfüge. Die Variable Bk enthält nach der Schleife das Ergebnis für "n über k":

code:
1: 2: 3: 4: 5:	Bk=1 For x=1 To k Bk*n/x n-1 Next

Übergibt man für n=8 und k=4 (entspricht meiner geschilderten Situation), erhält man für Bk korrekt den Wert 70.

15.08.2019, 22:38

Karaganoff

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RE: Binomialkoeffizient
Ups, das ist PureBasic-Dialekt. Die klassische Basic-Variante lautet natürlich:

code:
1: 2: 3: 4: 5:	Bk=1 For x=1 To k Bk=Bk*n/x n=n-1 Next

16.08.2019, 15:11

HAL 9000

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Solange du bei $\begin{eqnarray*} n\leq 10 \end{eqnarray*}$ (bzw. noch geringfügig größer) bleibst, müsste das so klappen. Bei noch größeren $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ indes solltest du aufpassen, dass du bei Bk nicht den Wertebereich (oder zumindest Genauigkeitsbereich) der Variablen verlässt.

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