Extremwertaufgabe lösen mit pq-Formel

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Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe lösen mit pq-Formel
Hallo Leute,

ich habe ein Extremwert beispiel gerechnet und auch gelöst.
Nun wollte ich bei diesem Beispiel die PQ-Formel anwenden als einen weiteren Lösungsweg.

Wir hatten das Thema schon mal bei der Kurvendiskussion.

Diesesmal gelingt es mir aber nicht die Lösung mit der PQ zu berechnen.

Bei diesem Beispiel geht es um die kleinste Diagonal (also Tiefpunkt berechnung).

Ich schreibe jetzt nicht den gesamten Rechenweg auf:

Lösungsweg:







Fläche berechnen:



Nun müsste ich auf: auch mit der PQ-Formel kommen?

Das gelingt mir aber einfach nicht.

Mit: habe ich ja schon P und Q

P = 4
Q = -8

Um genau zu sein müsste ich schreiben:

Warum komme ich nicht auf 2?

SG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was du pq-Formel nennst, ist eine Formel zur Lösung normierter quadratischer Gleichungen:



oder ganz ausführlich:



Allein schon hieran kannst du erkennen, daß du deine lineare (!!!) Gleichung nicht mit der pq-Formel lösen kannst, denn diese setzt den Koeffizienten 1 beim quadratischen Glied voraus.
 
 
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als Beispiel:

wäre mit der PQ-Formel lösbar.

Da bei: kein vorkommt, handelt es sich hier nicht um eine quadratische Gleichung und somit ist es mit der PQ nicht lösbar.

Hätte ich auch selbst drauf kommen können.

Danke!
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe lösen mit pq-Formel
Zitat:
Original von Mathman91
Um genau zu sein müsste ich schreiben:

Deswegen kann man noch ergänzen, dass die Gleichung schon nicht mit der allgemeinen abc-Formel (deren Spezialfall die pq-Formel ist) lösbar sein kann, denn dort stünde der Koeffizient a=0 im Nenner.
ewa19 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt davon, wenn man in der Klasse als Beispiel eine Zielfunktion 3. Grades betrachtet und man sich dadurch fälschlicherweise einprägt, dass man die Extremstellen immer mit Hilfe der pq-Formel bestimmt. Augenzwinkern


Zitat:
x²-8 wäre mit der PQ-Formel lösbar.


Du musst x²-8=0 schreiben, sonst stünde da nur ein Term und keine Gleichung.
Terme kann man nicht lösen, Gleichungen schon.
Theoretisch ist es zwar möglich die Gleichung x²-8=0 mit der pq-Formel zu lösen, du solltest dir aber klar machen, dass das hier eigentlich unnötig ist.
Ich weiß, dass man als Schüler oft die Denke hat "Gib mir eine Methode, die ich immer ohne groß nachzudenken anwenden kann, das reicht mir".
Sachverhalte wirklich zu verstehen, erreicht man aber nur, wenn man sich selbst möglichst viele W-Fragen stellt, eben um möglichst viel abzudecken und nicht auf Lücke zu lernen.
Ein Beispiel erfolgreich durchzurechnen und dann zu sagen "Ok, hab ich verstanden", das wird nur selten gut gehen. Lehrer
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ewa19
Das kommt davon, wenn man in der Klasse als Beispiel eine Zielfunktion 3. Grades betrachtet und man sich dadurch fälschlicherweise einprägt, dass man die Extremstellen immer mit Hilfe der pq-Formel bestimmt. Augenzwinkern


Was auch so ein Fall ist, hier merkt man sich nicht primär nicht die Rechentechnik sondern:

Erste Ableitung hat Nullstelle mit Vorzeichenwechsel Extremstelle

was hinreichend ist.
Wie der VZW festgestellt wird ist noch offen.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche ja nicht nur Blind nach einem Rechenweg vorzugehen, sondern ich frage mich ob man es auch anders lösen kann.

Deshalb habe ich es ja auch mit der PQ probiert.

Das Beispiel habe ich ja schon lange mit einer klassichen Umformung gelöst.

Leider hat sich ein kleiner Gedankenfehler eingeschlichen.

Ich denke, dass ich mit meiner Vorgehensweiße auf dem richtige Weg bin.


Viele Grüße
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe lösen mit pq-Formel
Zitat:
Original von klauss
Deswegen kann man noch ergänzen, dass die Gleichung schon nicht mit der allgemeinen abc-Formel (deren Spezialfall die pq-Formel ist) lösbar sein kann, denn dort stünde der Koeffizient a=0 im Nenner.

Ist doch nicht weiter schlimm.

Betrachte die Funktion


An der Stelle liegt eine stetig behebbare Definitionslücke. Setze dazu und , dann ist


Es gilt



Man bekommt nun


Das ist die Lösung der linearen Gleichung
.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hübsch! Endlich eine prächtige Formel zum Lösen linearer Gleichungen! Mein ganzes Leben lang habe ich schon darüber gegrübelt, warum das so einfach geht. Deine Herleitung zeigt jedoch: So einfach, wie die Leute denken, ist das gar nicht. Und ich will gewiß kein Spielverderber sein, wenn ich darauf hinweise, daß schon die erste Umformung nicht stimmt:



Und dann nochmal zum Schluß:




Aber minusminus gibt ja bekanntlich plus. Dann stimmt's doch wieder. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Hübsch! Endlich eine prächtige Formel zum Lösen linearer Gleichungen! ...

Big Laugh
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Zitat:
Original von Leopold
Hübsch! Endlich eine prächtige Formel zum Lösen linearer Gleichungen! ...

Big Laugh


... die aber leider nur für b 0 gilt ???
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Oh weh, da war ich wohl zu nachlässig.

Mit Zerlegungen der Form entflieht man noch unschönen Fallunterscheidungen.

Vorbetrachtung: Für eine Zahl gilt
.

Wie zuvor, und .

Sei . Dann ist
.
Setze . Dann ergibt sich



Damit für konvergiert, muss sein. Das ergibt

Daher . Tatsächlich ist dabei unwichtig, da es sich rauskürzt. Infolge ist auch unwichtig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

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