Offen, abgeschlossen, kompakt, beschränkt

18.08.2019, 07:53

MatheArtur

Offen, abgeschlossen, kompakt, beschränkt

Hallo zusammen,
ich habe Probleme bei diesen Begriffen, bzw. das Problem bei dieser Aufgabe ich kann keine Funktionen finden für die f(A) gilt oder nicht gilt.

Im Folgenden seien (a),(b),(c),(d) $\begin{eqnarray*} f : R^n\rightarrow R^m \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung
und $\begin{eqnarray*} \emptyset A\subseteq R^n \end{eqnarray*}$ .

(a) Ist A offen, so ist auch f(A) offen.
(b) Ist A abgeschlossen, so ist auch f(A) abgeschlossen.
(c) Ist A kompakt, so ist auch f(A) kompakt.
(d) Ist A beschränkt, so ist auch f(A) beschränkt.

18.08.2019, 10:49

MatheArtur

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RE: Offen, abgeschlossen, kompakt, beschränkt
bei (b) würde ich $\begin{eqnarray*} A= \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nehmen und f als arctan.
Dann ist A abgeschlossen und F(A) offen mit $\begin{eqnarray*} ]-\pi/2,\pi/2[ \end{eqnarray*}$ .

18.08.2019, 11:13

Elvis

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Beispiele machen ist schon ein guter Ansatz, du musst aber noch dazu sagen, was daraus folgt. Aus deinem Beispiel folgt, dass es eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} arctan: \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, die eine abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf die offene Menge $\begin{eqnarray*} (-\frac {\pi}2, \frac {\pi}2) \subseteq\mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet. Also ist nicht jedes Bild $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ einer abgeschlossenen Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ unter jeder stetigen Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Also ist die Aussage (b) falsch.

Als Gegenbeispiel für (a) kannst du eine Projektion $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb R^3\to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ des offenen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auf einen Untervektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ betrachten. Ein weiteres Gegenbeispiel für (a) wäre die Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto |x| \end{eqnarray*}$ . Noch einfacher jede konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f_a:\mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Wenn man für die Aussagen (c) und (d) kein Gegenbeispiel findet, muss man sie beweisen. Auch Beweise einfacher Aussagen helfen dabei, die Definitionen zu verstehen.

18.08.2019, 13:55

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Für f(x)=x sind alle Aussagen richtig.

18.08.2019, 14:26

Elvis

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RE: Offen, abgeschlossen, kompakt, beschränkt

Zitat:

Original von MatheArtur
... ich kann keine Funktionen finden für die f(A) gilt oder nicht gilt.

Diese Worte war sicher nicht ernst gemeint, denn sie ergeben nicht einmal einen bedeutungsvollen deutschen Satz.

18.08.2019, 14:58

MatheArtur

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RE: Offen, abgeschlossen, kompakt, beschränkt

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von MatheArtur
... ich kann keine Funktionen finden für die f(A) gilt oder nicht gilt.

Diese Worte war sicher nicht ernst gemeint, denn sie ergeben nicht einmal einen bedeutungsvollen deutschen Satz.

Tut mir leid ich werde mich das nächste Mal präziser ausdrücken.

Und Danke für die schnelle und Ausführliche Antwort.
mfg

18.08.2019, 17:44

Elvis

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Was ist mit (c) und (d) ?

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