Kreissegment/Kreisabschnitt Flächeninhalt herleiten

18.08.2019, 19:44

rambx

Kreissegment/Kreisabschnitt Flächeninhalt herleiten

Ich versuche gerade den Flächeninhalt eines Kreisabschnitts in folgender Form herzuleiten:

A=r^2 * arccos(1-h/r)-(r-h)*sqrt(2rh-h^2)

Ich finde leider keine Herleitung im Internet deshalb brauch ich Ratschläge.

19.08.2019, 02:14

mYthos

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~~Die Formel stimmt nicht ganz, im ersten Summand fehlt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (!)~~
Edit: Auf Grund der Winkelangabe in Rad entfällt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ tatsächlich!
-----
Gegeben ist der Kreisradius r und die Höhe des Segments h.
Die Fläche des Kreissegments ist die Differenz der Fläche des Sektors mit dem Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} 2 \alpha \end{eqnarray*}$ und der Fläche des gleichschenkeligen Dreieckes mit der Basis $\begin{eqnarray*} 2s \end{eqnarray*}$ (Länge der Sehne) und der Höhe (r - h),
weil die Höhe des Segmentes gleich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist.
Das Dreieck zerfällt in 2 rechtwinkelige Dreiecke mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ beim Kreismittelpunkt und den Katheten $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r-h \end{eqnarray*}$

Für den Sektor gilt: $\begin{eqnarray*} A_S = \frac{r^2 \pi \alpha°} {180} = r^2 \ arc \ \alpha = r^2 \arccos \frac {r-h} r \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß!)
Edit: Formel korrigiert.

Im Dreieck ist $\begin{eqnarray*} \frac s 2 = \sqrt{r^2 - (r-h)^2} = \sqrt{2rh - h^2} \end{eqnarray*}$ und dessen Fläche daher $\begin{eqnarray*} A_D = (r-h)\sqrt{2rh-h^2} \end{eqnarray*}$

mY+

19.08.2019, 16:41

rambx

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Hey schon einmal vielen dank für deine Antwort. Wieso fehlt da ein Pi? Bei Wiki unter ,,Kreissegment" handelt es sich um die vierte Formel bei den Flächeninhalten und da ist auch kein pi vorhanden...

19.08.2019, 16:58

rambx

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Zitat:

Original von mYthos

Für den Sektor gilt: $\begin{eqnarray*} A_S = \frac{r^2 \pi \alpha°} {180} \end{eqnarray*}$

Muss es nicht alpha/360° sein?

19.08.2019, 17:02

rambx

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Ok es muss wohl alpha/180° sein. Aber gilt das nicht nur für ein Halbkreis?

Und was soll arc alpha sein? Da hast du wohl das arccos gemeint oder? Und das soll vermutlich dafür da sein, um ein Kreis mit dem Winkel alpha zu bescheiben oder? Also das auch eine Kreisfläche vorkommen kann wo alpha größer als 180 ist.

20.08.2019, 19:22

mYthos

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Nein, so entspricht das nicht den Tatsachen!

Selbstverständlich lautet der Nenner in der Sektorformel 360°, allerdings ist der Öffnungswinkel in dieser Herleitung mit $\begin{eqnarray*} 2 \alpha \end{eqnarray*}$ bezeichnet worden, damit der Winkel in dem halben Dreieck dann eben $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist (!).

Zitat:

Original von mYthos
... Fläche des Sektors mit dem Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} 2 \alpha \end{eqnarray*}$ ...

Da hättest du schon vordem genauer lesen können .. Augenzwinkern

Somit ist durch 2, welches im Zähler steht, zu 180° zu kürzen.
---------

Die Bezeichnung arc $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ allein gilt für das Bogenmaß des Winkels; arc ist lat. arcus = Bogen
Also ist $\begin{eqnarray*} arc \ \alpha = \frac{\pi \alpha°}{180°} \end{eqnarray*}$ oder man schreibt anstatt $\begin{eqnarray*} arc \ \alpha \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ allein und meint damit das Bogenmaß, auch $\begin{eqnarray*} \alpha_r \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Zitat:

Original von rambx
... Wieso fehlt da ein Pi? Bei Wiki unter ,,Kreissegment" handelt es sich um die vierte Formel bei den Flächeninhalten und da ist auch kein pi vorhanden...

Ja, da hast du Recht, ich habe es schon entsprechend editiert.
Es liegt daran, dass der Winkel in Radiant angegeben ist.

Der Grund liegt genau dort wie oben gerade beschrieben. Denn wenn der Winkel im Bogenmaß eingetragen ist, enthält dieser bereits den Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .
Andernfalls - wie meistens üblich - beim Winkel im Gradmaß, muss der Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , der ja von der Kreisformel herrührt, mitgeschrieben werden.

mY+

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