Kreissegment/Kreisabschnitt Flächeninhalt herleiten

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rambx Auf diesen Beitrag antworten »
Kreissegment/Kreisabschnitt Flächeninhalt herleiten
Ich versuche gerade den Flächeninhalt eines Kreisabschnitts in folgender Form herzuleiten:


A=r^2 * arccos(1-h/r)-(r-h)*sqrt(2rh-h^2)

Ich finde leider keine Herleitung im Internet deshalb brauch ich Ratschläge.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel stimmt nicht ganz, im ersten Summand fehlt (!)
Edit: Auf Grund der Winkelangabe in Rad entfällt tatsächlich!
-----
Gegeben ist der Kreisradius r und die Höhe des Segments h.
Die Fläche des Kreissegments ist die Differenz der Fläche des Sektors mit dem Öffnungswinkel und der Fläche des gleichschenkeligen Dreieckes mit der Basis (Länge der Sehne) und der Höhe (r - h),
weil die Höhe des Segmentes gleich ist.
Das Dreieck zerfällt in 2 rechtwinkelige Dreiecke mit dem Winkel beim Kreismittelpunkt und den Katheten und

Für den Sektor gilt: ( im Bogenmaß!)
Edit: Formel korrigiert.

Im Dreieck ist und dessen Fläche daher

mY+
 
 
rambx Auf diesen Beitrag antworten »

Hey schon einmal vielen dank für deine Antwort. Wieso fehlt da ein Pi? Bei Wiki unter ,,Kreissegment" handelt es sich um die vierte Formel bei den Flächeninhalten und da ist auch kein pi vorhanden...
rambx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos


Für den Sektor gilt:


Muss es nicht alpha/360° sein?
rambx Auf diesen Beitrag antworten »

Ok es muss wohl alpha/180° sein. Aber gilt das nicht nur für ein Halbkreis?

Und was soll arc alpha sein? Da hast du wohl das arccos gemeint oder? Und das soll vermutlich dafür da sein, um ein Kreis mit dem Winkel alpha zu bescheiben oder? Also das auch eine Kreisfläche vorkommen kann wo alpha größer als 180 ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so entspricht das nicht den Tatsachen!

Selbstverständlich lautet der Nenner in der Sektorformel 360°, allerdings ist der Öffnungswinkel in dieser Herleitung mit bezeichnet worden, damit der Winkel in dem halben Dreieck dann eben ist (!).
Zitat:
Original von mYthos
... Fläche des Sektors mit dem Öffnungswinkel ...
Da hättest du schon vordem genauer lesen können .. Augenzwinkern
Somit ist durch 2, welches im Zähler steht, zu 180° zu kürzen.
---------

Die Bezeichnung arc allein gilt für das Bogenmaß des Winkels; arc ist lat. arcus = Bogen
Also ist oder man schreibt anstatt nur allein und meint damit das Bogenmaß, auch geschrieben.

Zitat:
Original von rambx
... Wieso fehlt da ein Pi? Bei Wiki unter ,,Kreissegment" handelt es sich um die vierte Formel bei den Flächeninhalten und da ist auch kein pi vorhanden...

Ja, da hast du Recht, ich habe es schon entsprechend editiert.
Es liegt daran, dass der Winkel in Radiant angegeben ist.

Der Grund liegt genau dort wie oben gerade beschrieben. Denn wenn der Winkel im Bogenmaß eingetragen ist, enthält dieser bereits den Faktor .
Andernfalls - wie meistens üblich - beim Winkel im Gradmaß, muss der Faktor , der ja von der Kreisformel herrührt, mitgeschrieben werden.

mY+
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