Complex analysis/Funktionentheorie

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MaxBender Auf diesen Beitrag antworten »
Complex analysis/Funktionentheorie
Meine Frage:
Hallo,

hat jemand eine Idee, wie ich die Aufgabe b) siehe Anhang lösen kann?
Für die 4a) habe ich als Funktion f(z)=exp(z)*i herausbekommen mit Hilfe von Liouville .


Meine Ideen:
Leider keine Idee
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Abbildungen mit kennst du denn?
 
 
MaxBender Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die konstante Funktion f(z)=i?
Diese erfüllt aber dann nicht die Relation?
Denkst du an eine andere Funktion?

Vielen Dank für deine Antwort!

LG
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir beweisen, dass es für die Konstante Funktion keine Konstante gibt, sodass für alle gilt, dass ?
MaxBender Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe es versucht, finde gerade aber keinen Beweis dafür. Wahrscheinlich hast du Recht und es existiert so ein M. Aber kannst du das M angeben?

Danke!


LG
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es ist hier von essentieller Bedeutung, dass man nur die komplexen Zahlen betrachtet, die in liegen.
Das heißt, für jedes solche gilt und somit gilt . (*)

Andererseits ist .

Kannst du also ein angeben, sodass sogar gilt?

Wenn du das kannst, folgt mit Ungleichung (*), dass auch die zu zeigende Behauptung gilt.
MaxBender Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe dann mal M=e^3 gewählt.

Dann sei z aus U2(0) beliebig aber fest. Dann ist:

|g(z)|=1<e^(3)*e^(-2)<e^(3)*e^(Re(z))



Stimmt das so?


LG
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann man so machen. tut es auch, man muss dann nur dein erstes zu einem machen.

Beachte, dass wir auch jede andere Funktion mit , die auf beschränkt ist, hätten nehmen können: Gilt nämlich für alle , so tut es (die Konstante kann im Falle unserer Abbildung natürlich gleich gewählt werden). Beispiele anderer solcher Funktionen sind beispielsweise oder .
MaxBender Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr interessant! Vielen Dank für dir die Hilfe!!


Liebe Grüße
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