Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen

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ralf654 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Die Aussage ist offenbar richtig
Warum ist aber die Aussage dagegen falsch?
Mir fällt dazu nur ein, dass um die 2. Aussage zu zeigen, eine Gleichheit zu zeigen ist. Diese ist aber für Mengen gar nicht definiert, bzw. auf der Ebene der Mengen hätte ich um Gleichheit zu zeigen zwei Richtungen zu zeigen nämlich dass A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von A ist.
Hat jemand vielleicht eine bessere, v. a. auch anschaulichere Erklärung?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
ist eine Menge, die Elemente von sind jedoch keine Mengen.

Viele Grüße
Steffen
 
 
ralf654 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Vielen Dank, leuchtet mir ein!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Elemente der Menge {1,2} Mengen sind, was sie nach der Neumannschen Definition tatsächlich sind, dann ist 0={},1={{}},2={{},{{}}} und damit 1 Element von 2, und auch 1 Element von {1,2}={{{}},{{},{{}}}}. Man muss genau hinsehen, um zu erkennen, welche Elemente eine Menge hat und welche nicht. {1}={{{}}} ist jedenfalls kein Element von {1,2}, auch nicht nach von Neumann, obwohl 1={{}} eine Menge ist, die die leere Menge enthält. Wir lernen daraus: auch wenn eine Begründung unmittelbar einleuchtet, muss sie nicht richtig sein. Augenzwinkern
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Zitat:
Original von Steffen Bühler
ist eine Menge, die Elemente von sind jedoch keine Mengen.

Viele Grüße
Steffen

In untypisierten Mengenlehren (wie ZF) ist alles eine Menge.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke Euch beiden für die Aufklärung und werde mich bei solchen Themen demnächst zurückhalten. smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Zitat:
Original von zweiundvierzig
In untypisierten Mengenlehren (wie ZF) ist alles eine Menge.

Das ist zwar richtig, aber in dieser Aufgabe geht es ziemlich sicher um eine Mengelehre mit Urelementen, die keine Mengen sind. Daher ist die Antwort von Steffen Bühler aus meiner Sicht völlig in Ordnung.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtiger als die nicht entscheidbare Frage ob 1 eine Menge ist oder nicht ist die immer richtige Unterscheidung von 1 und {1}. 1 ist Element von {1,2}, {1} ist kein Element von {1,2}.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von zweiundvierzig
In untypisierten Mengenlehren (wie ZF) ist alles eine Menge.

Das ist zwar richtig, aber in dieser Aufgabe geht es ziemlich sicher um eine Mengelehre mit Urelementen, die keine Mengen sind. Daher ist die Antwort von Steffen Bühler aus meiner Sicht völlig in Ordnung.

Es geht eher um Wohlfundiertheit. Diese verbietet .

In nicht-wohlfundierten Systemen der Mengenlehre kann es Mengen mit dieser Eigenschaft geben, Quine-Atome genannt.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Es geht eher um Wohlfundiertheit. Diese verbietet .



Aber so eine Menge x wäre noch nicht per se inkonsistent, richtig? Sie würde nur ins Unendliche schachteln, also x = {{{...{x}...}}}.
ralf654 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Zitat:
Original von Pippen
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Es geht eher um Wohlfundiertheit. Diese verbietet .



Aber so eine Menge x wäre noch nicht per se inkonsistent, richtig? Sie würde nur ins Unendliche schachteln, also x = {{{...{x}...}}}.

Warum?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen, Teilmengen und Elementbeziehungen
Weil wenn {x} € x, dann erstmal x = {x}, aber nun steht das x in der Mengenklammer ja wieder für {x}, also x = {{x}} und so schachtelt sich das immer tiefer. Das ist erstmal allerdings harmlos, ich sehe nicht so recht, warum man in ZFC solche "schnuckligen" Mengen verbieten will.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Viel funktioniert auch ohne das Fundierungsaxiom.

Klassisch ist das Fundierungsaxiom aber äquivalent zur Epsilon-Induktion, einem nützlichen Beweisprinzip (z.B. folgt daraus, dass jede Menge in einer Stufe der Von-Neumann-Hierarchie liegt).
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