Potenzturm abschätzen

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Dieter30 Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzturm abschätzen
Meine Frage:
Gibt es irgendeine Methode oder Formel die es ermöglicht die Größenordnung eines Potenturms näherungsweise abzuschätzen ? Wie entwickelt sich die Zahl der Stellen ? Wenn diese Nuss geknackt ist werde ich vielleicht noch eine ähnliche Frage bezüglich der Pfeilschreibweise von Knuth stellen, um langsam ein Verständnis für die Grahams Zahl zu bekommen.


Meine Ideen:
Beispiel : 2^2^2^2 = 2^2^2^4 = 2^2^16 = 2^ 65536. In gewisser Weise lässt sich also eine Vorgehensweise ermittlen. Bald werden die Zahlen aber dermaßen hoch, dass sie sich nicht mehr vernünftig darstellen lassen.

Nun interessiert mich, ob es eine Formel zur Abschätzung des Wachstum eines Potenzturms gibt oder nicht. Angenommen die Zahl lautet 10^10^10^10^10^10^10^10. Wie lässt sich diese Zahl intuitiv erfassen bzw. mittels einer Formel zumindest die Größenordung einzuschätzen ?
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzturm abschätzen
Ich denke, dass sich da etwas machen lassen sollte. Eigentlich definierst du da ja einfach eine zweistellige Operation im Bereich N der natürlichen Zahlen. Setzen wir einfach mal die Definition:

T(a,n) := a^a ^a ^a ^........ ^a

wobei das a insgesamt n mal vorkommen soll. Sowohl a als auch n sollen positive ganze Zahlen (also natürliche Zahlen) sein.

Um für den Wert von T(a,n) eine geschlossene Formel zu erhalten, wird man (für die praktische Berechnung) zu den Logarithmen greifen.

Nach der Definition dieser Potenztürme (bei welchen man auf die Schreibung der Klammern verzichtet) gilt ja:

T(a,n+1) = a ^T(a,n)

und demzufolge

ln(T(a,n+1)) = T(a,n) * ln(a)

Darauf aufbauend sollte es wohl möglich sein, eine Formel aufzustellen. Stichwort vollständige Induktion.

Solche Monster wie etwa 10^10^10^10^10^10^10^10 werden aber zwangsläufig so hoffnungslos groß, dass es da keinerlei "Abschätzung" geben wird, welche uns dann für unsere "Anschauung" auch nur ein bisschen weiterhelfen könnte !
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzturm abschätzen
Zitat:
Original von rumar

Nach der Definition dieser Potenztürme (bei welchen man auf die Schreibung der Klammern verzichtet)


wieso? 5^6^7^8 ist doch als "normale" Potenz auch ohne Klammern eindeutig.
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