Rechnen mit Phi-Funktion

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20.08.2019, 11:41

Verzweifelt001

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Rechnen mit Phi-Funktion

Meine Frage:
Ich brauche die Lösung. Bitte!

Meine Ideen:
Phi(30+t/15) - Phi(30-t/15) = 0.04

20.08.2019, 12:55

Elvis

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Was für ein "Vieh" ist Phi ?

20.08.2019, 13:18

Finn_

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Das müsste wohl das gaußsche Fehlerintegral (Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) sein.

Mit dem Ansatz
$\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi\big({-}\tfrac{\mu}{\sigma}+\tfrac{x}{\sigma}\big) \end{eqnarray*}$
kommt man auf $\begin{eqnarray*} -\mu/\sigma = 30 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=15 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mu=-450 \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , das die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \int_{-t}^t f(x)\,\mathrm dx = [F(x)]_{-t}^t =\tfrac{1}{25} \end{eqnarray*}$
löst, wobei $\begin{eqnarray*} f(x)=F'(x) \end{eqnarray*}$ .

20.08.2019, 13:32

Steffen Bühler

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Wobei mir meine Glaskugel sagt, dass es um $\begin{eqnarray*} \Phi \left( \frac {30+t}{15} \right) - \Phi \left( \frac {30-t}{15} \right) = 0,04 \end{eqnarray*}$ geht. smile

Viele Grüße
Steffen, Wiki empfehlend

20.08.2019, 20:22

Verzweifelt001

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Kann dir deine Glaskugel auch zeigen wie man bei diesem Beispiel weiterrechnen kann? geschockt

Ich glaube mir kann die Glaskugel mehr helfen als Wiki. Augenzwinkern

20.08.2019, 21:17

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$\begin{eqnarray*} \Phi \left( \frac {30+t}{15} \right) - \Phi \left( \frac {30-t}{15} \right) = 0,04 \end{eqnarray*}$

Den Ausdruch kann man noch etwas anders schreiben

Am besten mal zeichnen was die Phi Funktionen geometrisch bedeuten

Nach dem anders schreiben hat man nämlich nur noch eine Phi Funktion

20.08.2019, 21:20

Steffen Bühler

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Zunächst mal herzlich willkommen im Matheboard!

Meine Glaskugel hat also recht? Dann würde ich die verlinkte Tabelle nehmen und die zwei z-Werte im gleichen Abstand links und rechts von z=2 suchen, deren $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Werte die Differenz 0,04 haben.

20.08.2019, 23:35

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Zitat:

Original von Finn_
Mit dem Ansatz
$\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi\big({-}\tfrac{\mu}{\sigma}+\tfrac{x}{\sigma}\big) \end{eqnarray*}$
kommt man auf $\begin{eqnarray*} -\mu/\sigma = 30 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=15 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mu=-450 \end{eqnarray*}$ .

Streng genommen muss man davon wohl ausgehen

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{x-\mu }{\sigma} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi \left( \frac {t+450}{15} \right) - \Phi \left( \frac {-t+450}{15} \right) = 0,04 \end{eqnarray*}$

21.08.2019, 07:15

HAL 9000

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Meine Glaskugel geht noch etwas weiter und sagt mir "Hier stimmt was nicht": Solche Aufgaben (zumal in der Schulmathematik!) drehen sich gewöhnlich um symmetrische Intervalle um den Erwartungswert. Und bei solchen Aufgaben tauchen dann nicht Terme wie $\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{30\pm t}{15}\right) \end{eqnarray*}$ , sondern nur sowas wie $\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{\pm t}{15}\right) \end{eqnarray*}$ auf.

Daher würde ich gern mal die Original-Aufgabenstellung sehen (und tue dann Abbitte, falls meine Glaskugel falsch liegt).

21.08.2019, 09:02

Verzweifelt001

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Angenommen wird, das die Messgröße, der Intiligenzquotient, in der Bevölkerung normalverteilt ist. Der mittlere IQ in der deutschen Bevölkerung wird mit my=100(Kein Plan wie man hier griechische Buchstaben macht) angestzt, die Standardabweichung ist 15.

Aufgabe: Gesucht ist ein symmetrisches Intervall um den IQ 130, in dem 4% der deutschen Bevölkerung liegen. Interpretieren sie das Ergebnis.

21.08.2019, 09:24

Steffen Bühler

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Und was hast Du nun raus?

21.08.2019, 14:26

HAL 9000

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Tja, auch meine Glaskugel liegt bisweilen daneben... für eine Schulaufgabe wirklich ungewöhnlich. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac {30+t}{15} \right) - \Phi\left( \frac {30-t}{15} \right) = 0.04 \end{eqnarray*}$

doch richtig.

Zitat:

Original von xb
Nach dem anders schreiben hat man nämlich nur noch eine Phi Funktion

Verstehe ich nicht. Erstaunt1

Bleibt wohl nur ein Iterationsverfahren (z.B. Newton) um $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ herauszubekommen. Ein geeigneter Startwert scheint mir $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ basierend auf

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac {30+t}{15} \right) - \Phi\left( \frac {30-t}{15} \right) \approx \varphi(2)\cdot \left( \frac {30+t}{15}-\frac {30-t}{15}\right) = \varphi(2)\cdot \frac {2t}{15} \end{eqnarray*}$

zu sein. D.h., $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ergibt diesen Startwert $\begin{eqnarray*} t_0 = \frac{15\cdot 0.04}{2\varphi(2)} \approx 5.56 \end{eqnarray*}$ .

21.08.2019, 15:27

Elvis

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Ich hab's mit Excel versucht, die passende Funktion heißt NORM.VERT(...), und das Ergebnis 5,xxxx bekommt man durch Variation von t als Differenz von 2 Funktionswerten. Als Schüler haette ich die Aufgabe als zu schwer abgelehnt, das ist zuviel verlangt.

21.08.2019, 15:33

Steffen Bühler

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Och komm. Mit Excel geht es genauso schnell wie mit meinem Vorschlag, in der Tabelle ein paar Werte nachzuschauen.

Die Aufgabe soll die Schüler anscheinend mal weg von den üblichen Fragestellungen bringen, die man schon mit Routine löst - weswegen hier einige (mich eingeschlossen) auch kurz ins Schleudern kamen... Augenzwinkern

21.08.2019, 17:50

Elvis

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Haben Schüler Tabellen der $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Funktion, geeignete Taschenrechner oder Excel zur Verfügung ? Nur mit dem Kopf, Papier und Bleistift kriege ich es nicht hin.

21.08.2019, 18:28

Verzweifelt001

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Wir haben eine Tabelle zur Verfügung, aber wir sollen es nicht mit der Tabelle lösen, "das würde ja zu lange dauern".

21.08.2019, 18:31

Elvis

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Zu lange ist besser als gar nicht. Was ist zu lange ? 5 Minuten ?

21.08.2019, 18:53

Finn_

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@Elvis: Die Lösung lässt sich doch auch erst einmal schätzen.

Im folgenden Bild ist die Dichte der Standardnormalverteilung gezeichnet, das kann man ja mit einem gewöhnlichen Taschenrechner bewerkstelligen. Das grüne Rechteck hat Flächeninhalt 0.04. Dieser muss gleichmäßig unter dem Graphen um die 2 herum verteilt werden. Dann erhält man einen Abstand $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zur 2. Und $\begin{eqnarray*} 15x \end{eqnarray*}$ ist das gesuchte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

[attach]49599[/attach]

Die Glockenkurve approximiert man an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ durch ihre Tangente, die man noch gefühlt ein Stückchen nach oben verschiebt, das ergibt
$\begin{eqnarray*} f(x) = -0.1(x-2)+0.06. \end{eqnarray*}$

Eine Stammfunktion ist
$\begin{eqnarray*} F(x) = -0.05(x-2)^2+0.06x. \end{eqnarray*}$

Zu lösen ist
$\begin{eqnarray*} 0.04 = F(2+x)-F(2-x) = -0.05x^2+0.06(x+2)+0.05x^2-0.06(2-x) = 0.12x. \end{eqnarray*}$

Das ergibt $\begin{eqnarray*} x = 1/3 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} t\approx 15x=5.0 \end{eqnarray*}$ .

21.08.2019, 19:29

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von xb
Nach dem anders schreiben hat man nämlich nur noch eine Phi Funktion

Verstehe ich nicht. Erstaunt1

Eine verblüffende Lösung habe ich leider nicht
Ich habe halt an das gedacht als ich die Aufgabe gesehen habe
$\begin{eqnarray*} \Phi(x)-\Phi(-x)=2 \Phi(x)-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Finn_
@Elvis: Die Lösung lässt sich doch auch erst einmal schätzen

Das hat HAL 9000 doch schon längst gemacht

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