Elektrisches Feld wirkt in Ebene

20.08.2019, 12:10	kakfjaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Elektrisches Feld wirkt in Ebene Wenn etwas in einer Ebene wirken soll zb xy- Ebene dann gilt Vektor r=(0,0,z) oder?
20.08.2019, 12:48	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elektrisches Feld wirkt in Ebene Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit beliebigem $\begin{eqnarray} z \neq 0 \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene, ja. Viele Grüße Steffen
20.08.2019, 13:33	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss man etwas aufpassen, da die Lösungen der ebenen Laplace-Gleichung von anderer Gestalt sind als die Lösungen der räumlichen Laplace-Gleichung. Betrachte dazu das Potential $\begin{eqnarray} \varphi(\mathbf r) = \frac{K}{\|\mathbf r\|} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \end{eqnarray}$ , das ist die Lösung für eine Punktladung $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ im Koordinatenursprung. Mit $\begin{eqnarray} \nabla\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle = 2\mathbf r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nabla\|\mathbf r\| = \nabla\sqrt{\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle} = \frac{1}{2\|\mathbf r\|}\nabla\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle \end{eqnarray}$ bekommt man $\begin{eqnarray} \mathbf E = -\nabla\varphi = -K\nabla\frac{1}{\|\mathbf r\|} = \frac{K}{\|\mathbf r\|^2}\nabla\|\mathbf r\| = \frac{K\mathbf r}{\|\mathbf r\|^3}. \end{eqnarray}$ Vorbetrachtung: Es gilt $\begin{eqnarray} \partial_k\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle = 2r_k \end{eqnarray}$ , und daher $\begin{eqnarray} \partial_k\frac{1}{\|\mathbf r\|^3} = -\frac{3}{\|\mathbf r\|^4}\partial_k\|\mathbf r\| = -\frac{3}{\|\mathbf r\|^4}\frac{1}{2\|\mathbf r\|}\partial_k\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle = -\frac{3r_k}{\|\mathbf r\|^5}. \end{eqnarray}$ Man bekommt $\begin{eqnarray} \partial_k\frac{r_k}{\|\mathbf r\|^3} = \frac{\partial_k r_k}{\|\mathbf r\|^3}-r_k\frac{3r_k}{\|\mathbf r\|^5} = \frac{1}{\|\mathbf r\|^3}-\frac{3r_k^2}{\|\mathbf r\|^5}. \end{eqnarray}$ Das bringt uns nun $\begin{eqnarray} \langle\nabla,\frac{\mathbf r}{\|\mathbf r\|^3}\rangle = \sum_{k=1}^n \bigg(\frac{1}{\|\mathbf r\|^3}-\frac{3r_k^2}{\|\mathbf r\|^5}\bigg) = \frac{n}{\|\mathbf r\|^3}-\frac{3\|\mathbf r\|^2}{\|\mathbf r\|^5} = \frac{n-3}{\|\mathbf r\|^3}. \end{eqnarray}$ Insgesamt ist $\begin{eqnarray} \Delta\varphi = -K\frac{n-3}{\|\mathbf r\|^3}. \end{eqnarray}$ Die Laplace-Gleichung $\begin{eqnarray} \Delta\varphi=0 \end{eqnarray}$ ist nur für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ erfüllt. In der Ebene muss das Potential einer Punktladung daher von anderer Gestalt sein.
20.08.2019, 19:17	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elektrisches Feld wirkt in Ebene Dumme Frage Was ist physikalisch gemeint mit "wirkt in einer Ebene", wie soll $\begin{eqnarray} \vec E \end{eqnarray}$ aussehen? (Ebene elektromagnetische Wellen beispielsweise wirken im gesamten Raum.)

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