Umrechnung von komplexen Fourierkoeffizienten in reelle ergibt immer doppelten Gleichanteil

20.08.2019, 15:06	Mathe-Novize	Auf diesen Beitrag antworten »
Umrechnung von komplexen Fourierkoeffizienten in reelle ergibt immer doppelten Gleichanteil Meine Frage: Hallo, ich wundere mich gerade, warum man bei der Umrechnung von komplexen Fourierkoeffizienten zu den reellen das $\begin{eqnarray} c_0 \end{eqnarray}$ 2 mal nimmt, um auf $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ zu kommen. Das entspricht doch einfach dem doppelten Gleichanteil, was doch nie zu meinem ursprünglichen Signal führen wird, oder? Zumindest passiert mir das beim Ausprobieren in MATLAB. Ich führe mal exemplarisch aus meinem Skript die reellen und komplexen Fourierkoeffizienten für ein Gleichrichtersignal (siehe beigefügtes Bild) an: $\begin{eqnarray} <br /> a_k &= \begin{cases}<br /> \frac{1}{\pi} & \text{für } k=0\\<br /> \frac{2}{\pi(1-k^2)} & \text{für } k \text{ gerade}\\<br /> 0 & \text{sonst}<br /> \end{cases} \qquad\qquad b_k &= \begin{cases}<br /> \frac{1}{2} & \text{für } k=1\\<br /> 0 & \text{sonst}<br /> \end{cases} \qquad\qquad c_k=\begin{cases}<br /> \frac{1}{\pi} & \text{für } k=0\\<br /> -\frac{k}{4}\cdot j & \text{für } k=\pm1\\<br /> \frac{1}{\pi(1-k^2)} & \text{für } k \text{ gerade}\\<br /> 0 & \text{sonst}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich nun aus den komplexen Koeffizienten $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ mittels der Formeln $\begin{eqnarray} <br /> a_0 = 2c_0 \qquad a_k = c_k + c_{-k} \qquad b_k = i(c_k - c_{-k})<br /> \end{eqnarray}$ die reellen Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ berechne, so sehe ich ja schon bei $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ , dass da irgendwas nicht stimmt. Und wenn ich nun die so errechneten Koeffizienten in die allgemeine Formel $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\cdot\cos(\omega_k t) + b_k\cdot\sin(\omega_k t) \qquad\qquad \omega_k:=\frac{2\pi k}{T}<br /> \end{eqnarray}$ einsetze, so erhalte ich ja nur das, was ich bereits erwartet hätte: das richtige Signal, nur eben mit dem doppelten Gleichanteil. In der beigefügten Grafik sieht man einen MATLAB-Plot des Signals, oben das Originalsignal, unten die nach obiger Formel berechnete Fourierreihe. In Rot sieht man den Gleichanteil und in Grün die Grundschwingung. Kann mich bitte jemand auf meinen Fehler hinweisen, denn sämtliche Literatur und auch mein Professor werden sich da sicher nicht irren. Meine Ideen: Ich habe bestimmt ein wichtiges Detail übersehen oder habe mich vielleicht verrechnet. Aber ich sehe es gerade selbst nicht, vermutlich bin ich schon blind dafür, weil ich da schon ein Weilchen dran sitze, aber selber nicht drauf komme.
20.08.2019, 15:11	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umrechnung von komplexen Fourierkoeffizienten in reelle ergibt immer doppelten Gleichanteil Deine "allgemeine Formel" ist falsch, statt $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ ist der Gleichanteil $\begin{eqnarray} \frac {a_0}2 \end{eqnarray}$ . Siehe z.B. Wiki. Viele Grüße Steffen
20.08.2019, 15:25	Mathe-Novize	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umrechnung von komplexen Fourierkoeffizienten in reelle ergibt immer doppelten Gleichanteil Oh mann, habe vor lauter Blindheit komplett übersehen, dass mein Prof in seinem Skript ja durchweg abweichend von der Standardliteratur die Formel $\begin{eqnarray} <br /> a_0 = \frac{1}{T}\int\limits_{^{-T}/_{2}}^{^{T}/_{2}} f(x)\; dx<br /> \end{eqnarray}$ für den Gleichanteil verwendet, um sich in der allgemeinen Formel den Faktor $\begin{eqnarray} ^{1}/_{2} \end{eqnarray}$ zu sparen. Wenn ich dann natürlich die komplexen Koeffizienten berechne (mit einer der Standardliteratur kompatiblen Formel), diese dann mit obigen Formeln in reelle umrechne und dann in "seine" allgemeine Form einsetze, passiert natürlich, was passieren muss. Danke für den Hinweis, Gott aus der Maschine

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