Polstelle oder wesentliche Singularität

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Polstelle oder wesentliche Singularität
Hey Leute Wink

Hat in eine Polstelle oder eine wesentliche Singularität?

In meiner Literatur stehen unter "Polstelle" zwei Aussagen, die sich meiner Meinung nach in diesem Beispiel widersprechen.
(1) "Polstelle". Und weiter unten im Abschnitt:
(2) hat Pol -ter Ordnung in .

Nach (1) sollte es sich um eine Polstelle handeln, nach (2) aber nicht. Was genau liegt jetzt vor? Widersprechen sich die beiden Aussagen nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion ist in keiner punktierten Umgebung des Nullpunktes holomorph. Im klassischen Sinn wird der Begriff einer Polstelle jedoch nur für solche Funktionen definiert.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gedacht, dass für die Funktion in jedem Gebiet holomorph, also komplex differenzierbar ist. Mir tut jetzt schon die provokante Frage leid, weil du wahrscheinlich Recht hast. Aber kannst du mir nur einen Punkt aus nennen, in dem die Funktion nicht holomorph ist?
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

die Funktion f ist doch eine reellwertige Funktion.
als Funktion einer reellen Variablen hat sie einen Pol bei x = 0.

soll x eine komplexe Variable darstellen, ist f als reellwertige Funktion sicher in keinem Punkt holomorph, da die Cauchy-Riemannschen Dgln nicht erfüllt sind
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Mich interessieren beide Fälle. Also einmal dass reell und einmal komplex ist.

In Peter Furlan "Das Gelbe Rechenbuch 3", S. 136 steht:
Zitat:
Sei ein Gebiet, und eine in definierte und holomorphe Funktion [...]. Dann nennt man isolierte Singularität von .

Im Weiteren steht, dass es für isolierte Singularitäten 3 Fälle gibt:
(1) hebbare Singularität, falls existiert.
(2) Polstelle .
(3) Wesentliche Singularität, falls es weder (1) noch (2) ist.

Für die Funktion mit gilt weder (1), noch (2) wegen
Darum denke ich, dass es sich in diesem Beispiel um eine wesentliche Singularität handelt. Mich irritiert allerdings das erste, was bei "Polstelle" steht und zwar . Ich halte das für einen Widerspruch zu der anderen Aussage über Polstellen.

Aber vielleicht ist auch der gesamte Ansatz falsch und die Funktion ist wirklich nicht holomorph. Dann verstehe ich aber nicht wieso. Und auch verstehe ich dann nicht, wie hier die Argumentation für "Polstelle" oder "wesentliche Singularität" lautet.

Ich hoffe mein Problem ist noch verständlich. Und vielen Dank für eure Hilfe!

EDIT: Ich verstehe mittlerweile, dass eine reelle Funktion ist, weil (mit x=Realteil, y=Imaginärteil) ist. Und ich verstehe auch, dass die Funktion nicht komplex differenzierbar ist, weil die Cauchy-Riemannsche DGL nicht erfüllt ist. Nur kann weiß ich leider noch immer nicht, wie genau die Unstetigkeit zu klassifizieren ist und wieso.
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

ln(z) als komplexwertige Funktion hat jedenfalls eine wesentliche Singularität bei z = 0.
für die Funktion ln(|z|) macht eine Diskussion der Unstetigkeitsstelle in der komplexen Funktionentheorie m.E. keinen Sinn, da die Begriffe "Pol" und "wesentliche Singularität" nur für holomorphe Funktionen definiert sind (oder liege ich da falsch?).
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antworten! Ich brauche nur ein-zwei kleine weitere Erläuterungen bitte. Ich hab das Gefühl je mehr ich mich mit dem Thema beschäftige, desto wichtiger wird die Klassifizierung der Unstetigkeitsstellen und desto mehr tauche ich in die Funktionentheorie ein. Bitte beantworte mir noch meine letzten Fragen, sonst kann ich damit nicht abschließen und weiter arbeiten!


Zitat:
ln(z) als komplexwertige Funktion hat jedenfalls eine wesentliche Singularität bei z = 0.

Ist eine Begründung für diese Aussage, dass die Funktion ln(z) holomorph ist auf , z=0 eine isolierte Singularität ist und meiner Rechnung aus dem letzten Post?


Zitat:
für die Funktion ln(|z|) macht eine Diskussion der Unstetigkeitsstelle in der komplexen Funktionentheorie m.E. keinen Sinn

Ist es in diesem Fall nicht weiter möglich die Unstetigkeitsstelle zu klassifizieren? Einen bekannten Namen für diese "Klasse" an Unstetigkeiten und weitere Beispiele muss es doch geben oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von laila49
ln(z) als komplexwertige Funktion hat jedenfalls eine wesentliche Singularität bei z = 0.

Nein, das hat sie nicht.

Zitat:
da die Begriffe "Pol" und "wesentliche Singularität" nur für holomorphe Funktionen definiert sind (oder liege ich da falsch?).

Ganz richtig. Und holomorph bedeutet, dass die Funktion in einem offenen Gebiet komplex differenzierbar ist. Der komplexe Logarithmus ist aber in keiner punktierten Umgebung von holomorph, weil er dort noch nicht mal stetig ist. Siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmu...xer_Logarithmus
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von laila49
ln(z) als komplexwertige Funktion hat jedenfalls eine wesentliche Singularität bei z = 0.

Nein, das hat sie nicht.

Zitat:
da die Begriffe "Pol" und "wesentliche Singularität" nur für holomorphe Funktionen definiert sind (oder liege ich da falsch?).

Ganz richtig. Und holomorph bedeutet, dass die Funktion in einem offenen Gebiet komplex differenzierbar ist. Der komplexe Logarithmus ist aber in keiner punktierten Umgebung von holomorph, weil er dort noch nicht mal stetig ist. Siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmu...xer_Logarithmus


Wenn man aber die negative reelle Achse entfernt, ist der komplexe Logarithmus wieder holomorph. Also wie genau ist die Unstetigkeitsstelle z=0 bei ln(z) genau zu klassifizieren? Hebbare Singularität, Polstelle oder wesentliche Singularität? Wenn es sich hier bei z=0 um eine isolierte Singularität handelt, muss es doch eine wesentliche Singularität sein, oder?

Und wie heißt die Unstetigkeitsstelle z=0 bei der Funktion ln(|z|)?? Und gibt es dafür weitere Beispiele der selben "Klasse"?

Bitte helft mir bei der Antwort, mich macht es wirklich fertig das ganze nicht richtig einordnen zu können.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn man aber die negative reelle Achse entfernt, ist der komplexe Logarithmus wieder holomorph.

Ja, aber mit dieser Einschränkung gibt es eben keine punktierte Umgebung von , in der der komplexe Logarithmus holomorph wäre.

Zitat:
Also wie genau ist die Unstetigkeitsstelle z=0 bei ln(z) genau zu klassifizieren? Hebbare Singularität, Polstelle oder wesentliche Singularität?

Nichts von dem. ist ein Verzweigungspunkt des komplexen Logarithmus.

Zitat:
Wenn es sich hier bei z=0 um eine isolierte Singularität handelt, muss es doch eine wesentliche Singularität sein, oder?

Nochmals nein. Es liegt gar keine isolierte Singularität vor. Begründung wie oben mit der punktierten Umgebung.
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von laila49
ln(z) als komplexwertige Funktion hat jedenfalls eine wesentliche Singularität bei z = 0.

Nein, das hat sie nicht.

Zitat:
da die Begriffe "Pol" und "wesentliche Singularität" nur für holomorphe Funktionen definiert sind (oder liege ich da falsch?).

Ganz richtig. Und holomorph bedeutet, dass die Funktion in einem offenen Gebiet komplex differenzierbar ist. Der komplexe Logarithmus ist aber in keiner punktierten Umgebung von holomorph, weil er dort noch nicht mal stetig ist. Siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmu...xer_Logarithmus[/quote]



danke, Huggy. Ist doch schon eine Weile bei mir her.
Ich wollte nur auf den Unterschied zwischen ln(z) und ln(|x|) aufmerksam machen und bin dan voll in die logarithmischen Verzweigungen getreten. Asche auf mein Haupt.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, ihr habt mir wieder sehr weiter geholfen!!
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