Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x

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Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x
Sei mit , , .

Für welche ist ?

Bei mit , lässt sich der Grenzwert leicht bestimmen. Für kann man mit einschnüren. Wie man die Ungleichung angehen soll, weiß ich aber auch nicht.

Sonst fällt mir nichts ein.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x
Lässt sich das nicht einfach mit l`Hospital klären?

Bei hat man . Bleiben also die Fälle und . Mit den Substitutionen





geht über in



Setzt man noch



geht über in



und zu betrachten ist der Grenzwert für Das ist mit l`Hospital kein Problem.
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, super!

Ich hab mir da noch was überlegt. Setzt man , dann gilt

Der Flächeninhalt kann dabei durch das Rechteck mit Höhe Supremum abgeschätzt werden, d.h.

Hat man nun , dann konvergiert auch das Supremum gegen null für , denn wird irgendwann in jede Epsilon-Umgebung von null eintauchen und diese nicht mehr verlassen. Vom Supremum eingeschnürt muss daher auch das Integral gegen null konvergieren, das ergibt


Für ist . Mit ergibt sich
.

Für kann keine Aussage getroffen werden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Für kann keine Aussage getroffen werden.

l`Hospital ergibt da den Grenzwert .
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Aufbauend auf der Idee mit dem Integral, kaum der Rede wert: Wenn es eine Konstante gibt, so dass für alle , dann muss für über alle Grenzen wachsen, und damit auch das Integral.

Für ist , die Bedingung wird zu

Die Potenzfunktion wächst streng monoton steigend und unbeschränkt, wenn nur ist. Mit ergibt das , was nach Voraussetzung erfüllt ist.
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