Fourierkoeffizient bn bestimmen (2/n)*(-1)^(n-1)

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23.08.2019, 16:24	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
*Fourierkoeffizient bn bestimmen (2/n)(-1)^(n-1)** Aufgabe: Folgender Fourierkoeffizient soll berechnet werden: $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \sin{(nx)} dx \end{eqnarray}$ Fragen/Ansatz: Wenn man für $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ sagt, soll hier für $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ folgendes herauskommen, jedoch weiss ich nicht warum das hier so ist: Also: $\begin{eqnarray} b_n = \frac{2}{n}{(-1)}^{n-1} \end{eqnarray}$ Vielleicht könnte jemand das mal Schritt für Schritt erklären wie man darauf kommt. Die Aufgabe war generell etwas länger und ist auf dem youtube Kanal von blackpenredpen unter dem Video fourier series, welches vom 15.08 diesen Jahres erschienen ist, zu sehen.
23.08.2019, 17:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt Dir das Stichwort partielle Integration etwas? Mehr brauchst Du für die Berechnung eigentlich nicht.
23.08.2019, 17:45	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir natürlich auch schon in den Sinn gekommen, jedoch kam ich nicht wirklich weit. Also wenn ich x integriere und die andere Funktion multipliziere also $\begin{eqnarray} \frac{1}{\pi}[(\frac{x^2}{2} \cdot sin(nx))\|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^2}{2} \cdot cos(nx)n \quad dx] \end{eqnarray}$ Dann würde ja für den ersten ersten in den runden Klammern noch vor dem Integral 0 rauskommen oder ? Was würde aber dann rechts beim Integral raus kommen ?
23.08.2019, 17:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre zielführender das x abzuleiten anstatt es zu integrieren.
23.08.2019, 20:14	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bin jetzt wie folgt vorgegangen: $\begin{eqnarray} b_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin(x) \quad dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cdot \sin{(nx)} dx \end{eqnarray}$ Also sin integriert und x differenziert ergibt dann folgendes: $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi}[(-(x \cdot \frac{1}{n} \cdot \cos{(nx)}))\|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot (- \frac{1}{n} \cos{(nx)}) dx] \end{eqnarray}$ Dann würde für den ersten Teil raus kommen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\pi} [\frac{-\pi \cdot (-1)}{n} - \frac{\pi \cdot(-1)}{n} + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos{(nx)} dx] \end{eqnarray}$ Für den ersten Teil, der in den Klammern steht würde dann folgendes herauskommen: $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi}[\frac{2 \pi}{n} + \frac{1}{n} [\frac{1}{n} \cdot \sin{(nx)}]_{-\pi}^{\pi}] \end{eqnarray}$ Dann komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi} [\frac{2 \pi}{n} + 0] = \frac{2 \pi}{\pi n} = \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ Wie komme ich denn da auf den rechten Teil: Also $\begin{eqnarray} \frac{2}{n}{(-1)}^{n-1} \end{eqnarray}$ Die 2/n hätten wir damit aber was ist mit dem rechten Teil ?
23.08.2019, 22:14	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich denn irgendwas falsch gemacht ? Habs jetzt zwei mal durchgerechnet und komme da nur auf $\begin{eqnarray} \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ der Faktor mit (-1) hoch n-1 ist mir schleierhaft.
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23.08.2019, 23:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bringt Dich zu der Annahme, dass $\begin{eqnarray} cos(\pi n)=-1 \end{eqnarray}$ ? Ich könnte Dir viele n angeben, für die das nicht stimmt.
24.08.2019, 00:02	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich halt wie gesagt aus dem Video. Das war ja schon so gesehen die Lösung gewesen. Ich habe ja nicht angenommen das es -1ist. Z.b sind alle vielfache von 2 oder hier in dem Beispiel jedes Gerade n zur Folge das das cos eine positive 1 ausgibt.
24.08.2019, 00:04	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh ich glaube ich weiss was du meinst aber wie schreibt man das dann hin ?
24.08.2019, 00:10	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Werte einsetzen und gucken ob man das vielleicht als Formel basteln kann vielleicht. Also so habe ich das noch nie gesehen.
24.08.2019, 00:47	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es jetzt mal wie folgt gemacht: $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{\pi}{n} \cos{(\pi n)} + (-\frac{\pi}{n} \cos{(-\pi n)}) + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos{(n x)} dx] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi} [\frac{-\pi (-1)^n}{n} - \frac{\pi (-1)^n}{n} + \frac{1}{n}[\frac{1}{n} \sin{(nx)}]\|_{-\pi}^{\pi}] \end{eqnarray}$ Dann wäre der rechte Teil wieder 0 und davor komme ich dann auf $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\pi}(\frac{-2\pi(-1)^n}{n}) = \frac{2}{n}{(-1)}^{n+1} \end{eqnarray}$ Wäre es denn auch so richtig, wenn ich das negative Vorzeichen in den Zähler schreibe ? Wenn ich das negative Vorzeichen in den Nenner schreibe, komme ich auf die besagte Lösung. Meine Frage jetzt, ist das so auch richtig ?
25.08.2019, 00:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Solange das gleiche herauskommt, ist es ziemlich Wurst wo Du das Minus hinschreibst.
25.08.2019, 15:27	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich z.b das minus for dem Pi in den Zähler schreibe: $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{n} \cos{(\pi n)} = \frac{\pi (-1)^n (-1)}{n} = \frac{\pi {(-1)}^{n+1}}{n} \end{eqnarray}$ Anstelle von $\begin{eqnarray} \frac{\pi {(-1)}^{n-1}}{n} \end{eqnarray}$ wenn ich das minus vor dem Pi in den Nenner schreibe. Die Frage ist: Ist es denn das selbe, eigentlich ja nicht weil der Exponent ein anderer ist oder ?
25.08.2019, 15:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es doch nicht komplizierter als es ist: $\begin{eqnarray} (-1)^3=(-1)^5=(-1)^{97}=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-1)^4=(-1)^6=(-1)^{2000}=1 \end{eqnarray}$ . Im allgemeinen macht der Exponent einen Unterschied, aber nicht bei der Basis (-1) mit geradem/ungeradem Exponenten. Wenn Dir das zu schwammig ist geht es natürlich auch rein formal: $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1}=(-1)^{n-1+2}=(-1)^{n-1}(-1)^2=(-1)^{n-1} \end{eqnarray}$
25.08.2019, 16:41	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich es verstanden. Danke

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