Bijektion von den nicht-negativen reellen Zahlen nach R

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mark19 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion von den nicht-negativen reellen Zahlen nach R
Meine Frage:
Gesucht ist eine Bijektion von der Menge M (alle reellen Zahlen >= 0) auf die reellen Zahlen R.



Meine Ideen:
Habe es versucht mit der Funktion:

1/(1-x) für 0 <= x < 1
1/(1-x) + 1 für 1 < x < unendlich

Das Problem ist, dass die obige Vorschrift schon eine surjektive Abbildung definiert. Wenn ich nun die Polstelle 1 abbilde, erhalte ich keine injektive Abbildung mehr.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Exponentialfunktion und Logarithmus, muss man nur noch über die 0 nachdenken.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektion von den nicht-negativen reellen Zahlen nach R
Wie wäre das:







mit

Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine wichtige Eigenschaft einer stetigen Abbildung ist, dass die Bildmenge zusammenhängend ist, sofern es ist.

Damit kann leicht die Einsicht gewonnen werden, dass eine Bijektion niemals stetig sein kann.

Entfernt man die Null aus , dann erhält man . Zudem gilt , da sonst nicht injektiv wäre.

Der Raum ist zusammenhängend. Wird aber ein beliebiger Punkt aus entfernt, dann ergibt sich immer eine unzusammenhängender Raum. Folglich kann nicht stetig sein.
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