Knuths Pfeilschreibweise

24.08.2019, 20:56

Dieter30

Knuths Pfeilschreibweise

Meine Frage:
Zunächst : P stehe für Pfeil.

Mit der Pfeilschreibweise lassen sich sehr große Zahlen darstellen. Allerdings verstehe ich bei Mehrfachoperatoren nicht mehr die dahinterstehenden Rechenregeln.

Kann jemand helfen ?

Meine Ideen:
Bsp : 3P 3 = 3^3 = 27 , 3PP3 = 3^3^3 = 7,62*10^12 , 3PP4 = 3^3^3^3 ~ 1.62*10^~3,6 Billionen. 3 PPP3 = 3PP 7,62*10^12

Schon 3PPP3 führt zu einem Potenzturm mit etwa 7,62*10^12 Exponenten. Der dahintersteckende Rechenweg ist mir aber unverständlich.

Es gibt zwar gewisse Anhaltspunkte dafür wie man vorgehen könnte aber sobald ich bspw. 3 PPP 4 oder 3 PPPP 4 annähern will stößt sowwohl mein Vorstellungsvermögen wie auch die Methode an Grenzen.

25.08.2019, 02:56

Dopap

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RE: Knuths Pfeilschreibweise
$\begin{eqnarray*} 3\uparrow 3 = 3^3 \end{eqnarray*}$ so?

code:
1:	[latex]3\uparrow 3 = 3^3 [/latex]

25.08.2019, 08:22

Bürgi

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RE: Knuths Pfeilschreibweise
Guten Morgen,

Zitat:

Der dahintersteckende Rechenweg ist mir aber unverständlich.

Für den Rechenweg ist es erfoderlich Klammern einzufügen:

$\begin{eqnarray*} 3 \uparrow \uparrow 3 = \text{3^(3^3)} = 3^{3^3} \end{eqnarray*}$

Bei

$\begin{eqnarray*} 3 \uparrow \uparrow \uparrow 4 = \text{3^(3^((3^3))} = 3^{3^{3^3}} \end{eqnarray*}$

entsprechend.

25.08.2019, 10:09

Dieter30

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Morgen Bürgi,

dir ist leider ein gravierender Fehler unterlaufen.

$\begin{eqnarray*} 3\uparrow \uparrow \uparrow 4 \end{eqnarray*}$ bedeutet keinewegs 3^3^3^3^3. Schon bei $\begin{eqnarray*} 3\uparrow \uparrow \uparrow 3 \end{eqnarray*}$ würde der Potenzturm laut wikipedia etwa 7 Billionen Exponenten enthalten und nicht wie gemäß deiner Angabe 3 oder 4.

Bitte Google den deutschen bzw. den empfehlenwerteren englischsprachige wikipedia Artikel zur Pfeischreibweise und den deutschen Artikel zur Grahams Zahl auf der ebenfalls die Pfeilschreibweise erläutert wird.

Nach wie vor kann ich aber selbstständig nur die Beispielangaben ab Dreifachoperatoren verstehen. Die Zahl $\begin{eqnarray*} 3\uparrow \uparrow \uparrow 4 \end{eqnarray*}$ ist nach wie vor unbekannt und vermag auch kein calculator zu berechnen.

25.08.2019, 12:51

Iorek

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Die Verwendung von Klammern ist trotzdem essentiell notwendig (nicht um dieses Monstrum zu berechnen, aber um die Konstruktion zu verstehen). Ich verweise da einfach mal auf den englischen Wiki-Eintrag den du selber genannt hast. Der für uns relevante Teil der Definition der Schreibweise ist: $\begin{eqnarray*} a \uparrow^n b=a\uparrow^{n-1} (a\uparrow^n (b-1)) \end{eqnarray*}$

Im Artikel ist dann u.a. aufgeführt, dass $\begin{eqnarray*} a\uparrow\uparrow\uparrow b= \underbrace{a \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow(\ldots \uparrow\uparrow a))}_{b-\text{mal}} \end{eqnarray*}$

Damit ist dann $\begin{eqnarray*} 3\uparrow\uparrow\uparrow 4 =3\uparrow\uparrow (3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3))=3\uparrow\uparrow (3\uparrow \uparrow 3^{27}) \end{eqnarray*}$ , wobei ich hier direkt wieder mit der Definition arbeite um $\begin{eqnarray*} 3\uparrow \uparrow 3=(3\uparrow(3\uparrow 3))=3\uparrow(3^3)=3^{3^{3}}=3^{27} \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Mit der Definition ist jetzt weiter $\begin{eqnarray*} 3\uparrow\uparrow 3^{27}=\underbrace{3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}}_{3^{27}-\text{mal}} \end{eqnarray*}$ und an dieser Stelle höre ich in der Regel auf über die Größe dieser Zahlen nachzudenken, damit ich keine Kopfschmerzen bekomme. Den Potenzturm der bei $\begin{eqnarray*} 3\uparrow\uparrow (3\uparrow \uparrow 3^{27})=3\uparrow\uparrow \underbrace{3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}}_{3^{27}-\text{mal}} \end{eqnarray*}$ entsteht will ich mir einfach nicht vorstellen.

25.08.2019, 17:37

Dieter30

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Wenn 3 PPP 4 = 3PP(3PP3^27) ist, folgt hieraus dann 3PPP5 = 3PP(3PP3^3^3^3)... 3^27 mal ?

Sorry für euern unnötigen Einsatz von Aspirin Tabletten zu dem diese Art von Aufgaben nötigen !

25.08.2019, 20:35

Iorek

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Halt dich lieber daran fest, dass $\begin{eqnarray*} 3\uparrow\uparrow\uparrow 4=3\uparrow\uparrow ( 3\uparrow\uparrow (3\uparrow \uparrow 3)) \end{eqnarray*}$ ist. Du reduzierst die Pfeilanzahl jeweils um eins, also wird hier aus $\begin{eqnarray*} \uparrow\uparrow\uparrow \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \uparrow\uparrow \end{eqnarray*}$ . Die Zahl hinter den Pfeilen, hier also $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ , gibt dir dann an, wie oft du die Zahl vor den Pfeilen mit der reduzierten Pfeilanzahl aufschreiben musst.

$\begin{eqnarray*} 3\uparrow\uparrow\uparrow \color{red}4\color{black}=\color{red}3\color{blue}\uparrow\uparrow \color{black}( \color{red}3\color{blue}\uparrow\uparrow \color{black}(\color{red}3\color{blue}\uparrow \uparrow \color{red}3\color{black})) \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ kommt auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \color{red}4 \end{eqnarray*}$ -mal vor und zwischen je zwei $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -en steht ein $\begin{eqnarray*} \uparrow\uparrow \end{eqnarray*}$ (mit entsprechender Klammerung). Damit ist $\begin{eqnarray*} 3\uparrow\uparrow\uparrow 5=3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow 3))) \end{eqnarray*}$

25.08.2019, 20:53

Dieter30

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Auf der ersten Ebene werden einfach Zahlen exponiert. Auf der zweiten Ebene besteht wiederum der Potenztum aus so vielen Exponenten wie die Zahl der ersten Ebene groß ist. Und ab der dritten Ebene versagt unser Vorstellungsvermögen. Willkommen bei Knuths Pfeilschreibweise.

27.08.2019, 16:17

Iorek

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Falls du noch von einem hören willst, der es wirklich wissen muss: How Big is Graham's Number? (feat. Ron Graham) ist ein sehr nettes Video von Numberphile genau zu deinen Fragen.

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