Fourier-Transformation - Seite 2

Neue Frage »

28.08.2019, 21:16	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du warst zuletzt bei $\begin{eqnarray} \hat s_k=\frac{1}{\pi} \left\|\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos{\left(\frac{\pi}{2} k \right)}}}{1 - k} + \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)} \cos{(\frac{\pi}{2} k)}}{1 + k}\right\|=\frac{1}{\pi} \left\|\frac {{\cos{\left(\frac{\pi}{2} k \right)}}}{1 - k} + \frac{\cos{(\frac{\pi}{2} k)}}{1 + k}\right\|<br /> \end{eqnarray}$ Für k=1 geht das nicht, da musst Du noch mal die sinc-Formel nehmen. Aber für k>1 kannst Du Werte berechnen. Tu das doch mal. Und da die Funktion gerade ist, ergeben sich nur positive bzw. negative rein reelle Koeffizienten. Also ist die Phase entweder Null oder...
28.08.2019, 22:28	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das so stehen lassen, oder muss man das noch weiter vereinfachen ? Zur Phase würde ich dann folgendes aufschreiben, für die Phase phi_k: $\begin{eqnarray} <br /> \varphi_k = \arg{(c_k)} = \arg{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2} k \right)}}{1 - k} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2} k \right)}}{1 + k}\right)}<br /> \begin{cases}<br /> 0 & \text{für }k = (\text{ 1, 3, 5, ... ungerade})\\<br /> 1 & \text{für }k = (\text{ 4 , 8 , 12 ... })\\<br /> -1 & \text{für }k = (\text{ 2, 6, 10 ... })<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Kann man das so schreiben ?
28.08.2019, 23:10	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja stimmt bei k = 1 wird der Nenner 0. Hmm Dann: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{cases}<br /> 0, & \text{wenn }k = (\text{ 3, 5, 7, 9 ...})\\<br /> 1 & \text{wenn }k = (\text{ 4, 8 , 12 ... })\\<br /> -1 & \text{wenn }k = (\text{ 2, 6 , 10 ...})<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$
29.08.2019, 08:55	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben. Und das ist genau mein Vorschlag gewesen. Siehst Du das?
29.08.2019, 11:46	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss jetzt nicht was du meinst. Es müsste $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \text{ und } \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ -1 und 1 heissen. Für 0 müsste es dann $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ heissen.
29.08.2019, 12:52	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Argument ist doch einfach eine reelle Zahl. Die hat den Winkel Null (für positive Zahlen) oder $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ (für negative Zahlen). Und für ungerade k>1 ist die Zahl selber Null, da ist der Winkel dann auch Null. Da Du anscheinend nicht willst, schreibe ich mal die ersten geraden Glieder hin. Ich drück sie gleich reell aus, dann ist die Phase geklärt. $\begin{eqnarray} s_2=\frac{1}{\pi} \left( \frac {{\cos{\left(\frac{\pi}{2} \cdot 2 \right)}}}{1 - 2} + \frac{\cos{(\frac{\pi}{2} \cdot 2)}}{1 + 2} \right) =\frac{1}{\pi} \left( \frac {{-1}}{1 - 2} + \frac{-1}{1 + 2} \right) \approx 0,212 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_4=\frac{1}{\pi} \left( \frac {{\cos{\left(\frac{\pi}{2} \cdot 4 \right)}}}{1 - 4} + \frac{\cos{(\frac{\pi}{2} \cdot 4)}}{1 + 4} \right) =\frac{1}{\pi} \left( \frac {{1}}{1 - 4} + \frac{1}{1 + 4} \right) \approx -0,042 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_6=\frac{1}{\pi} \left( \frac {{\cos{\left(\frac{\pi}{2} \cdot 6 \right)}}}{1 - 6} + \frac{\cos{(\frac{\pi}{2} \cdot 6)}}{1 + 6} \right) =\frac{1}{\pi} \left( \frac {{-1}}{1 - 6} + \frac{-1}{1 + 6} \right) \approx 0,018 \end{eqnarray}$ Und wenn Du unbedingt willst, kannst Du die Erzeugerformel mit meinem Tipp noch hübscher gestalten.
Anzeige

29.08.2019, 13:40	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war jetzt nicht wirklich hilfreich, denn ohne den Taschenrechner würde man auf die Werte nicht so kommen und der ist ja nicht erlaubt. Es ist schon eine mathematische Vorgehensweise verlangt als eine technische. Es hat auch nichts mit wollen zu tun. Deine Beispiele bringen mir nichts auch das Beispiel mit dem Bleistifft konnte ich mit der Aufgabe oder dem Problem nicht in Verbindung bringen. Dafür jetzt noch mehr Zeit in Anspruch nehmen kann ich auch nicht. sind jetzt schon 5 Tage vergangen. Danke aber trotzdem für deine Mühe.
29.08.2019, 14:02	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte Dir zeigen, wie man auf eine allgemeine Formel für den Scheitelwert kommt. Daher hab ich 2, 4, 6 eingesetzt und gehofft, Du siehst die Regelmäßigkeit. Um nur gerade k zu bekommen, schreibt man das wie gesagt so: $\begin{eqnarray} \hat s_{2k}=\frac{1}{\pi} \left( \frac 1{1 - 2k} + \frac 1{1 + 2k} \right)=\frac{1}{\pi} \left( \frac 2{1 - 4k^2}\right) \end{eqnarray}$ Und die alternierende Phase bekommt man dann z.B. mit $\begin{eqnarray} \varphi_{2k}=\frac {\pi}2 + (-1)^k \cdot \frac {\pi}2 \end{eqnarray}$ (EDIT: Phasenformel berichtigt.) Den Fall $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ musst Du getrennt behandeln.
29.08.2019, 14:12	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du auf die Formel kommst ist mir aus deiner Rechnung mit dem Einsetzen von k auch nicht klar. Also wie bereits gesagt sk und phik, da weiss ich nicht wie man darauf kommt auf gerade diese Regelmässigkeit aber das du jetzt noch s2k schreibst und phi2k. Ich will mir jetzt nicht noch weiter den Kopf damit zerbrechen. Ich lasse mir das am besten nochmal von meinem Dozenten erklären.
31.08.2019, 15:53	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiss jemand wie denn dieses Thema zu Variablen Argumenten von Winkelfunktionen heisst: Also sowas wie $\begin{eqnarray} \cos{\left(\frac{\pi}{2} k \right)} \end{eqnarray}$
31.08.2019, 16:55	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hier: $\begin{eqnarray} <br /> (-1)^{k+1} \cos 2kx<br /> \text{wird doch nie 0 ? Also kann es doch gar nicht die Formel sein für } \cos{\left(\frac{\pi}{2} k\right)}<br /> \end{eqnarray}$
01.09.2019, 10:27	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind zwei verschiedene k. Das letztere ergibt sich zunächst aus der Fourierformel. Wenn man dann sieht, dass sich damit nur geradzahlige Indizes ergeben, kann man für die endgültige Formel die erstere Schreibweise mit 2k verwenden - oder vielleicht besser 2n, um Verwirrung zu vermeiden...

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Fourier-Transformation - Seite 2

Verwandte Themen