Konfidenzintervall ohne Erwartungswert berechnen

25.08.2019, 21:14

Profil57

Konfidenzintervall ohne Erwartungswert berechnen

Meine Frage:
Bei dem folgenden Beispiel stehe ich völlig auf der Leitung, wie man den Erwartungswert µ aus den angegebenen Daten bestimmen kann:

Der Energieertrag von Photovoltaikanlagen eines bestimmten Typs ist annähernd normalverteilt mit einer Standardabweichung von 6 Kilowattstunden (kWh). Für 10 zufällig ausgewählte Anlagen dieses Typs wurden folgende Energieerträge in kWh gemessen:

195
198
210
204
196
202
210
199
192
201

Meine Ideen:
arithmetisches Mittel = 200,7 kWh
$\begin{eqnarray*} Z_{0,975}=1,959 \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich dann nicht mehr weiter, wie ich auf den Erwartungswert komme, damit ich durch die folgende Formel das Konfidenzintervall berechnen kann:

$\begin{eqnarray*} [µ-1,959*\frac{6}{\sqrt{10}} ;µ+1,959*\frac{6}{\sqrt{10}}] \end{eqnarray*}$

26.08.2019, 08:19

Huggy

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RE: Konfidenzintervall ohne Erwartungswert berechnen
Der Schätzer von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist gleich dem arithmetischen Mittelwert der Stichprobe.

26.08.2019, 13:21

Profil59

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Danke für die Antwort Freude

Dann muss wohl die Lösung falsch sein, da dort für µ der Wert 1000 angegeben wird.

26.08.2019, 15:14

mYthos

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Die Anzahl der Stichproben ist zwar nur k = 10 (sie sollte zumindest größer als 30 bzw. 50 sein), dennoch ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ keinesfalls auf 1000 zu schätzen. Auch der Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann nicht so hoch sein.
Auf Grund der angegebenen Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ können $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und die relative Stichprobenhäufigkeit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sogar berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = n \cdot h \cdot (1-h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \cdot h = \mu \end{eqnarray*}$
-------------------------

$\begin{eqnarray*} 36 = n \cdot h \cdot (1-h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \cdot h \approx 201 \end{eqnarray*}$

Daraus folgen h ~ 0.82 und n ~ 245.
Die relativen Intervallgrenzen (symmetrisch um h) sind lt. Formel

$\begin{eqnarray*} h \pm z \cdot \sqrt{\frac{h(1-h)} n} \end{eqnarray*}$

Absolut erhalten wir (symmetrisch um $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ) mittels Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu \pm z \cdot \sigma \approx 201 \pm 11.75 \end{eqnarray*}$

mY+

26.08.2019, 16:03

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
Die Anzahl der Stichproben ist zwar nur k = 10 (sie sollte zumindest größer als 30 bzw. 50 sein), dennoch ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ keinesfalls auf 1000 zu schätzen. Auch der Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann nicht so hoch sein.

Diese Bemerkung versteh ich nicht. Das ist doch die Standardaufgabe, mittels der Stichprobe aus einer Normalverteilung mit bekanntem $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ein Konfidenzintervall für das unbekannte $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ der Verteilung zu berechnen.

Da darf die Stichprobe auch klein sein. Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Stichprobe und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Normalverteilung sind gegeben. Da gibt es nichts zu berechnen.

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