Vollständigkeits-Axiom

27.08.2019, 17:32

DerFragesteller42

Vollständigkeits-Axiom

Meine Frage:
Die Aufgabe
Man zeige: ZU jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Folge natürlichen Zahlen
$\begin{eqnarray*} 1 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < ... \end{eqnarray*}$
so dass
$\begin{eqnarray*} x = \sum\limits_{k=1}^{\infty} 1/a_{k} \end{eqnarray*}$

ich hab schon mittlerweile 6 stunden oder so den kopf zerissen wie man das lösen könnte komm aber einfach nicht drauf bzw. meine ansätze führen nicht zu einem beweis.
Hat vielleicht irgendjemand einen ansatz wie man das lösen könnte
es ist in dem Übungsbuch was ich habe in dem Kapitel über Das Vollständigkeits-Axiom (Analysis 1 Otto Forster)

PS: sorry irgendwie geht das nicht mit latex beim mir unglücklich

Du hast die LaTeX-Tags vergessen, ich hab sie mal nachgetragen. Geht auch mit dem f(x)-Button. Steffen

Meine Ideen:

Meine Idee war das man es durch vollständige indukition lösen könnte mit:
$\begin{eqnarray*} x = \sum\limits_{k=1}^{n} 1/a_{k} + \xi_{n} \end{eqnarray*}$
weil das in dem Kapitel mit b-adischen Brüchen genauso gemacht wurde,
bloß ich finde irgendwie keine passenden begrenzungen für $\begin{eqnarray*} xi_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

27.08.2019, 17:58

Elvis

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Wähle $\begin{eqnarray*} a_1=\frac 1 x, a_k=0\,\forall k>1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1 {a_k} \end{eqnarray*}$ .
Die $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ spielen dabei keine Rolle, also gibt es zu jeder Folge von natürlichen Zahlen eine Folge von geeigneten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ . smile

27.08.2019, 18:22

laila49

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Zitat:

Original von Elvis
Wähle $\begin{eqnarray*} a_1=\frac 1 x, a_k=0\,\forall k>1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1 {a_k} \end{eqnarray*}$ .

das ergäbe bei mir mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} =\infty \end{eqnarray*}$ ,

x = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ > 1

27.08.2019, 19:25

Elvis

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Da war ich im falschen Film, tut mir leid. Nehmen wir stattdessen $\begin{eqnarray*} a_1=\frac 2{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac 1{a_k}=\frac x{2} \end{eqnarray*}$ , dann passt es. Sinnvoll wird es trotzdem nicht.

27.08.2019, 19:32

laila49

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vielleicht kommt man je weiter, wenn man die Dualbruchentwicklung von x betrachtet und x als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen (überall, wo in der Dualbruchentwicklung eine 1 steht) darstellt.
Kopfzerbrechen bereitet mir allerdings der Sonderfall, wenn in der Dualbruchentwicklung von x nur endlich viele Einsen vorkommen (es soll ja x als unendliche Summe dargestellt werden) ???

27.08.2019, 20:11

IfindU

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@laila49

Glücklicherweise sind duale Darstellungen nicht eindeutig. In der dualen Basis ist $\begin{eqnarray*} 1 = 0,\overline{1} \end{eqnarray*}$ smile

27.08.2019, 21:54

HAL 9000

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Beenden wir mal die Scharade mit dem Schreibfehler: Gemeint ist wohl $\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n_k} \end{eqnarray*}$ .

Man kann eine passende Folge z.B. so konstruieren: Startend mit der leeren Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_0=0 \end{eqnarray*}$ wählen wir sukzessive für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ irgendeinen (!) ganzzahligen Wert $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-s_{k-1}} < n_k < \frac{2}{x-s_{k-1}} \end{eqnarray*}$ (dass eine solche Zahl existiert sieht man an der Intervalllänge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-s_{k-1}} > 1 \end{eqnarray*}$ ). Anschließend berechnet man die nächste Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k = s_{k-1}+\frac{1}{n_k} \end{eqnarray*}$ .

Für eine solche Folge kann man einerseits die geforderte strenge Monotonie $\begin{eqnarray*} n_k<n_{k+1} \end{eqnarray*}$ nachweisen, und andererseits $\begin{eqnarray*} 0 < x-s_k < \frac{1}{2}\left(x-s_{k-1}\right) \end{eqnarray*}$ , aus letzterem folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} x = \lim_{k\to\infty} s_k \end{eqnarray*}$ .

28.08.2019, 08:33

laila49

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Zitat:

Original von IfindU
@laila49

Glücklicherweise sind duale Darstellungen nicht eindeutig. In der dualen Basis ist $\begin{eqnarray*} 1 = 0,\overline{1} \end{eqnarray*}$ smile

Danke. Das ist mir inzwischen auch eingefallen. Dann müsste meine Idee wohl auch funktionieren...

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