Enten-Wahrscheinlichkeits-Problem

27.08.2019, 17:54	Waldmönch	Auf diesen Beitrag antworten »
Enten-Wahrscheinlichkeits-Problem Wir sollten zu folgender Situation berechnen, was uns gerade einfällt: In Arosa gibt es jährlich ein Enten-wettbewerb. 1250 nummerierte Enten dessen Nummer man kaufen konnte wurden einen Bach heruntergelassen und die ersten 10 Enten die unten am Ziel ankommen, gewinnen etwas. Unser Lehrer hatte 5 Enten gekauft. Natürlich hatte ich gleich mal berechnet wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, den ersten Platz zu gewinnen. *(100%/1250)5=0.4% Danach habe ich berechnet wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einer von den ersten 10 Plätzen zu kriegen. 0.4%10=4%* Dies habe ich dann auch mit 10, 20 und 50 Enten gemacht. Aber als ich dann das selbe mit 125 Enten berechnet habe, bin ich dann auf 10% und 100% gekommen, was gar nicht sein kann. Man kann ja auch alle bis auf 10 Enten kaufen und trotzdem keinen der ersten 10 Plätze kriegen! Also muss da irgendwo ein Denkfehler sein. Mein Lehrer wusste auch nicht was der Denkfehler war... (Oder er hat es einfach nicht gesagt) Kann mir jemand weiterhelfen? LG Waldmönch
27.08.2019, 18:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignis $\begin{eqnarray} A_{n,k} \end{eqnarray}$ "mindestens eine von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Enten soll unter den ersten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Plätzen sein". Gegenereignis $\begin{eqnarray} A_{n,k}^c \end{eqnarray}$ bedeutet "alle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Enten sind auf den Plätzen $\begin{eqnarray} n+1,\ldots,1250 \end{eqnarray}$ ", das sind $\begin{eqnarray} 1250-n \end{eqnarray}$ Möglichkeiten von 1250. Damit ist $\begin{eqnarray} P(A_{n,k}) = 1-P(A_{n,k}^c) = 1-\frac{\binom{1250-n}{k}}{\binom{1250}{k}} \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ haut dein Wert noch hin, denn es ist dort $\begin{eqnarray} P(A_{1,k}) = 1-\frac{\binom{1249}{k}}{\binom{1250}{k}} = 1-\frac{1250-k}{1250} = \frac{k}{1250} \end{eqnarray}$ . Aber für $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ (insbesondere auch $\begin{eqnarray} n=10 \end{eqnarray}$ ) ziehst du den falschem Analogieschluss, d.h. alle deine anderen Werte sind falsch.
27.08.2019, 18:46	Waldmönch	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Jetzt gibt alles wieder sinn...

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