Wasserspiele im Park

29.08.2019, 09:54

Dopap

Wasserspiele im Park

in einem Freizeitpark gibt es im See 3 verschiedene Wasserfontänen X,Y, und Z, die gelegentlich kurz ausbrechen.
X sprüht regelmäßig genau alle 20 min.
Y sprüht regelmäßig genau alle 40 min.
Z sprüht regelmäßig genau alle 60 min. Das Alles ist jedem bekannt.

Die Anlage ist im Dauerbetrieb und die Ursache der Zeitversetzung zwischen X,Y und Z ist nicht mehr bekannt. Man nimmt an, dass die Startpunkte zufällig waren.

Ein Besucher setzt sich beim See und wartet auf Wasserspiele. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht er X als Ersten in Aktion?

Meine Ideen: die Aktionen treten zwar auch durchschnittlich alle 20,40,60 min auf, aber sind nicht zufällig in ihrer jeweiligen Abfolge. Zufällig ist deren Zeitstaffelung. Das ist eine Zusatzinformation die berücksichtigt werden muss. Leider wird's mMn nicht einfacher.

meine Schreibweisen: P(X=1;45 min) =1 bedeutet, X beginnt mit 100% Wkt innerhalb der nächsten 45 min.
oder P(Z=0;3)=0.945 bedeutet, Z bleibt mit Wkt 94.5% während der nächsten 3 min stumm.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(X=1;20)=1\qquad P(Y=1;20)=2/4=1/2\qquad P(Z=1;20)=20/60=1/3 \end{eqnarray*}$

für die nächsten 20 min gibt es 4 Fälle:

$\begin{align*} \begin{array}{|||l|c|c|c|c|}\hline case & P(case) & P(X=1\,|\,case) & P(Y=1\,|\,case) & P(Z=1\,|\,case)\\\hline (I)\quad X,Y,Z=1 & 1/6 & = P(Y,Z=1 \,|\, case)=1/3 & 1/3\quad \to & 1/3 \\ (II) \quad X,Y=1\,\,\, Z=0 & 1/3 & = P(Y=1\,|\,case )=1/2 + P(Z=0\,|\, case)=1/2& 1/2 \quad \to & 0 \\ (III)\quad X,Z=1\,\,\, Y=0 & 1/6 & 1/2 & 0 \quad \to& 1/2 \\ (IV)\quad X=1 \,\,\,Y,Z=0 & 1/3 & 1 \quad \to & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=first) = \sum_{cases} P(case)\cdot P(X=1\,|\, case)=\frac16\cdot\frac 13+\frac13\cdot\frac 12+ \frac16\cdot\frac 12 + \frac13\cdot 1 = 23/36\approx 63.9\% \end{eqnarray*}$ verwirrt

29.08.2019, 10:05

HAL 9000

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Ich würde es so modellieren: Der Besucher kommt o.B.d.A. zum Zeitpunkt 0, und das Erstauftreten der drei Fontänen X,Y,Z nach diesem Ankunftszeitpunkt wird durch drei unabhängige stetig gleichverteilte Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X\sim U(0,20) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y\sim U(0,40) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z\sim U(0,60) \end{eqnarray*}$ beschrieben. Du suchst nun

$\begin{eqnarray*} P(X\leq Y,X\leq Z) = \int\limits_0^{20} P(t\leq Y,t\leq Z\mid X=t)f_X(t) ~ \dd t = \frac{1}{20} \int\limits_0^{20} \frac{40-t}{40}\cdot \frac{60-t}{60} ~ \dd t = \frac{23}{36} \end{eqnarray*}$ ,

was dein Resultat bestätigt.

--------------------------------------------------------------------

Deine Idee würde ich mit dieser meiner Symbolik so aufschreiben: Für Ereignis $\begin{eqnarray*} A=[X\leq Y,X\leq Z] \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} P(A) &=& P(A\mid Y\leq 20,Z\leq 20)P(Y\leq 20,Z\leq 20) + P(A\mid Y\leq 20,Z>20)P(Y\leq 20,Z>20) + P(A\mid Y>20,Z\leq 20)P(Y>20,Z\leq 20) + P(A\mid Y>20,Z>20)P(Y>20,Z>20)\\ &=& \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{23}{36} \end{eqnarray*}$

Dieser Rechnung liegt die Hilfsaussage zugrunde, dass die bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} Y\leq 20 \end{eqnarray*}$ die Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} U(0,20) \end{eqnarray*}$ , während sie unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} Y>20 \end{eqnarray*}$ die Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} U(20,40) \end{eqnarray*}$ ist. Analog ist die bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} Z\leq 20 \end{eqnarray*}$ ebenfalls die Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} U(0,20) \end{eqnarray*}$ , während sie unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} Z>20 \end{eqnarray*}$ die Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} U(20,60) \end{eqnarray*}$ ist. Beim Vergleich nun von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig identischen stetigen Verteilungen ist jeder der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werte mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ der kleinste der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - das "stetig" ist in dem Zusammenhang essentiell, denn bei diskreten Verteilungen können ja mit positiver Wahrscheinlichkeit auch mehrere zugleich "kleinster" Wert sein, was diese Betrachtung mit den $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ über den Haufen wirft...

29.08.2019, 14:16

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
[...]
$\begin{eqnarray*} P(X\leq Y,X\leq Z) = \int\limits_0^{20} P(t\leq Y,t\leq Z\mid X=t)f_X(t) ~ \dd t = \frac{1}{20} \int\limits_0^{20} \frac{40-t}{40}\cdot \frac{60-t}{60} ~ \dd t = \frac{23}{36} \end{eqnarray*}$ ,
[...]

ich habe schon befürchtet, dass das doch wesentlich kompakter geht böse

Aber warum einfach wenn's auch kompliziert geht ?
Nee Spaß beiseite, Hauptsache der Weg/Idee und das Ergebnis stimmt

Zitat:

Deine Idee würde ich mit dieser meiner Symbolik so aufschreiben: Für Ereignis $\begin{eqnarray*} A=[X\leq Y,X\leq Z] \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} P(A) &=& P(A\mid Y\leq 20,Z\leq 20)P(Y\leq 20,Z\leq 20) + P(A\mid Y\leq 20,Z>20)P(Y\leq 20,Z>20) + P(A\mid Y>20,Z\leq 20)P(Y>20,Z\leq 20) + P(A\mid Y>20,Z>20)P(Y>20,Z>20)\\ &=& \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{23}{36} \end{eqnarray*}$ [...]

ist stringenter aber vergleichbar mit meinem Geschreibe. Augenzwinkern

29.08.2019, 14:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
ist stringenter aber vergleichbar mit meinem Geschreibe.

Inhaltlich ist es haargenau dasselbe wie bei dir. Ich hab's nur aufgeschrieben, weil zumindest mir die Symbolik P(X=1;45 min) u.ä. einfach missfällt - Geschmackssache. Augenzwinkern

29.08.2019, 20:59

Dopap

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ja richtig, jetzt hab' ich es auch gesehen. Ist dasselbe. Augenzwinkern

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