Erzeuger bestimmen

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Keksi Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger bestimmen
Meine Frage:
Kurze Frage, habe leider bei meiner Recherche kein glück gehabt.
Zu Beginn ich verstehe was ich tun muss und ich weiß auch wie die Begriffe definiert sind.
Aber nun zu meiner Frage, ich habe eine Gruppe (Z/13-{0},*) und soll nach den Erzeugern schauen.
So meine Gruppe ist (ich schreibe nun mal weniger Formal)
Z/13-0 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, also mit Ordnung 12.
so und muss ich nach dem Erzeuger schauen.
aber mein verständnisproblem ist nun wie zähle ich. also bei 3 zum Beispiel muss ich ja
3=3
3*3=9
nun mein Problem is
3*3*3 =27 =3 oder muss ich die Null noch mit einbeziehen und habe 2....


mit geht es auch so bei den primen Restklassen auch hier habe ich das selbe kleine Verständnisproblem beispielsweise (/großphi (17),*)
/großphi (17) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16

Ordung =16 (17-1)

wenn ich jetzt hier nach dem Erzeuger suche benutze ich dann die oben notierte Reihenfolge /großphi (17) oder z/17 (mit null oder ohne)?


Versteht ihr mein Problem?
(ich habe echt alles verstanden nur da hakt es

lg

Meine Ideen:
siehe oben
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dein Problem nicht, aber wegen erzeugt nur die Untergruppe , ist also kein Erzeuger von
 
 
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
das hilft mir in so fern weiter, dass ich nachvollziehen kann die Sie zählen.
Wenn Sie sagen, 3^3 = 1, dann haben sie bei der Z/13 die Null beim Berechnen miteinbezogen stimmst?
Nur wie ist das bei der primen Restklassengruppe. Also wie bestimmte ich da den Erzeuger? Muss ich in diesem Fall also bei /großphi (17) die Z/17 anschauen, also 0-16?

also die erzeuger dann foglendermaßen bestimmen:
/großphi (17) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5 (=32)=15 (??)

Danke für Ihre Antwort

Willkommen im Matheboard!
Du hast Dich mittlerweile dreimal angemeldet, die User Keksi und Keksi2019 werden daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bezeichnungen verstehe ich nicht. Die ganzen rationalen Zahlen sind mit Addition und Multiplikation ein Ring . Für jedes ist ein Ideal, der Faktorring ist , in dem modulo addiert und multipliziert wird. Seine additive Gruppe enthält die Restklassen . Seine prime Restklassengruppe ist die multiplikative Gruppe der zu relativ primen Restklassen. Sie hat die Ordnung , wobei die Eulersche -Funktion ist. Es gibt (außer in trivialen Fällen) nicht nur einen sondern mehrere Erzeuger einer zyklischen Gruppe. (Allmählich habe ich Zweifel, ob du wirklich weißt, wie die Begriffe definiert sind.)
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis wie die sachen defniert sind...mir geht es nur darum...oh man das ist schwer zu beschreiben, ich habe wie gesagt die prime restklassengruppe ich nehme jetzt einfacher die /großphi (11)
Das sind dann ja die Zahlen, mit ggt=1.
also /großphi (11)= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) so nun will ich die Erzeuger bestimmen.
die Erzeuger sind die elemente, die die Gruppe abbilden. Alles klar.
Sagen wir ich schaue ist 2 ein Erzeuger:
2=2
2*2=4
2*2*2=8
2*2*2*2 (=16) = 5 und ich möchte ich wissen stimmt das?

/edit: Mir geht es jetzt nur um die Berechnung...also ob ich die richtige Lösung habe, nicht dass jetzt 2 oder unten 3 ein Erzeuger ist.

Ebenso bei nehmen wir 3:
3=3
3*3=9
3*3*3 (=27) = 5 (?)

Es ist total bescheuert, aber ich habe da einfach einen Hänger gerade im Abzahlen bzw. berechnen.

Hammer
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aufgeschrieben, wie die Ringe und Gruppen heißen und wie man in ihnen rechnet. Was ist /großphi (11) ? Wenn du mir nicht sagen möchtest, was das ist, dann weiß ich nicht, was du machst und was du machen willst.

Wen du die prime Restklassengruppe mod meinst, dann ist, also ein Erzeuger.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Verwirrend bei deiner Anfrage ist, daß du nach Erzeugern der primen Restklassengruppe fragst, danach aber das Rechnen mit Restklassen erkundest. Geht es dir darum, wie man mit Restklassen rechnet?

Bei besteht die multiplikative Gruppe aus 10 Elementen:



Das ist eine abelsche Gruppe mit 10 Elementen. Bis auf Isomorphie gibt es nur eine solche Gruppe, sie ist das Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2 und einer zyklischen Gruppe der Ordnung 5 und selber wieder zyklisch. Daher muß der Theorie nach Erzeuger besitzen. Hier sind das die von 2,6,7,8 erzeugten Restklassen.

Zum Beispiel die Potenzen von 6, der Reihe nach: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2

Beispiel:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Daher muß der Theorie nach Erzeuger besitzen.

Ergänzend dazu gilt noch folgendes:

Kennt man ein erzeugendes Element von , so sind alle erzeugenden Elemente durch für die zu teilerfremden ermittelbar. Hier im Beispiel m=11 und g=2 wären das .

Ob es bessere Methoden als Trial-and-Error gibt, diesen zumindest einen ersten Erzeuger zu finden, weiß ich nicht (mir ist so, als hätte ich diese Frage hier im Board schon mal gesehen, habe aber die Antwort vergessen).
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage ist nun schon beantwortet smile *Freu*

ich habe hier eine Aufgabe, die heißt 7 ist Erzeuger der Primrestklassengruppe mod 11?

Primrestklassengruppen haben ja immer die Multiplikation dabei. also folgt:
/großphi (11) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (stimmt das soweit?)
das heißt die Ordnung /kleinphi ist 10.

soweit so gut... Jetzt schaue ich, ist 7 ein Erzeuger. 7 muss ja nun die /großphi erzeugen, wenn es ein Erzeuger ist. (richtig?)

Nun habe ich:
7
7*7 = 49 = 5 (stimmt das?)
7*7*7 = (5*7)=2 (?)

gehe ich hier richtig vor?
ich muss ja den Erzeuger der Primrestklassengruppe (/großphi (11),*) finden

edit 1:Hal 9000 des ja ne super methode kannte ich garnicht.
Gibt es für /kleinphi (10)=4 oben ne rechenregel, also dass ich shcneller auf die Anzahl meiner Erzeuger komme? also nicht welche aber die Anzahl, zur kontrolle....

edit 2: ah ist das die Anzahl der teilerfremden zu hier beispielsweise 10? weil das wären ja 1,3,7,9?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Keksi2016
7*7 = 49 = 5 (stimmt das?)
7*7*7 = (5*7)=2 (?)

Die vielen Fragezeichen deuten auf Unsicherheiten im Rechnen mit Restklassen hin, das hat Leopold wohl richtig vermutet. Ja, modulo 11 gerechnet ist





usw.


Zitat:
Original von Keksi2016
Gibt es für /kleinphi (10)=4 oben ne rechenregel, also dass ich shcneller auf die Anzahl meiner Erzeuger komme?

Darf ich das so deuten, dass du nicht weißt, wie man berechnet - zumindest dann nicht, wenn keine Primzahl ist? verwirrt

Ich werd jetzt nicht die Rechenregeln alle aufschreiben (schau in dein Skript oder Wikipedia), die auf der Primfaktorzerlegung der 10 basierende Rechnung lautet damit jedenfalls

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nur damit Keksi keinen Schnellschuß macht: Prime Restklassengruppen brauchen nicht zyklisch zu sein. Zum Beispiel ist eine Kleinsche Vierergruppe. Außer 1 haben alle Elemente die Ordnung 2.
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

wie man euler berechnet weiss ich, ich wusste nur nicht wie man das mit der primfaktorzerlegung macht bzw. dass es das überhaupt gibt; das wurde bei uns nie besprochen... und ich hatte mich gewundert, wie ihr dann auf die 4 (bei 10 ) kommt aber das ist dann klar.
bei uns war es immer alle durchrechnen und probieren...


/edit:
Ihr habt mir echt weitergeholfen danke... ich habe mich etwas blöd ausgedrückt, aber ich komm mit dem formeleditor nicht klar... und schreibe es deshalb aus.
nur eine Frage habe ich noch, wenn ich die Erzeuger (oh jetzt versteht mich vermutlich wieder keiner)

/großphi (20) = (1,3,7,9,11,13,17,19) berechnen soll.

(/großphi (20), *) ist eine Guppe und deren Erzeuger.

Wie gehe ich da vor? ich habe als Element der Gruppe jetzt beispielsweise die 9.
dann rechne ich
9
9*9= 1
9 (okay schlechtes beispiel)

3
3*3=9
3*3*3 =7
3*3*3*3 =1

Wäre dann drei ein erzeuger? weil 3 erzeugt ja die ganze (/großphi (20),*)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Nur damit Keksi keinen Schnellschuß macht: Prime Restklassengruppen brauchen nicht zyklisch zu sein. Zum Beispiel ist eine Kleinsche Vierergruppe. Außer 1 haben alle Elemente die Ordnung 2.

Daher ja auch die Eröffnung

Zitat:
Original von HAL 9000
Kennt man ein erzeugendes Element [...]

In den von dir angesprochenen Gruppen, also allen außer , gibt es ja solch ein solches initiales gar nicht.


Zitat:
Original von Keksi2016
nur eine Frage habe ich noch, wenn ich die Erzeuger (oh jetzt versteht mich vermutlich wieder keiner)

/großphi (20) = (1,3,7,9,11,13,17,19) berechnen soll.

ist wegen keine zyklische Gruppen (das sind wie gesagt nur die mit ungeradem und ), es gibt daher in dieser Gruppe keine Erzeuger. Die maximale Elementordnung ist hier (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Carmichael-Funktion), ein erzeugendes Element benötigt aber Ordnung .
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt ultimative Abschlussfrage:
Ich habe eine Alte Klausur, da steht ist 3 ein Erzeuger von Primrestklassengruppe mod 17.
Also ich fange an:

z/17 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10-16
(Primrestklassengruppe, *)= (1-16,*)
also habe ich die Ordnung der primen Restklasse (17) = 16 (p-1)

Mit eulerscher Phifunktion erhalte ich 8 Erzeuger, dass wären dann die teilerfremden zu 16 (stimmt das?)
also teilerfremde =1,3,5,7,9,11,13,15 (nicht erzeuger)

so nun muss ich den ersten Erzeuger suchen: meines Rechnens nach (verbessert mich gern) wäre es die erste Zahl die 3.

Dann kann ich jetzt,um die anderen erzeuger zu erhalten berechnen:
3^1=3
3^3=10
3^5=5
3^7=...
3^9=...

meine erzeuger wären dann 3,10,5,... stimmt das?

und ja mir ist bewusst ich hätte nur die 3 beweisen müssen, aber mir gehts da jetzt ums verständns
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Keksi2016
Mit eulerscher Phifunktion erhalte ich 8 Erzeuger, dass wären dann die teilerfremden zu 16 (stimmt das?)

Nein, diese 8 Zahlen sind nicht die Erzeuger, sondern nur passende Exponenten für die Erzeuger , so man denn einen Erzeuger gefunden hat.
Weiter unten hast du es ja dann richtig gerechnet, aber hier an der Stelle ist es fehlerhaft deutbar formuliert.


3 ist wegen Erzeuger, ja.

Zitat:
Original von Keksi2016
Dann kann ich jetzt,um die anderen erzeuger zu erhalten berechnen:
3^1=3
3^3=10
3^5=5
3^7=...
3^9=...

meine erzeuger wären dann 3,10,5,... stimmt das?

Ja, korrekt.
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

hatte das erste schon editiert, hatte mich falsch ausgedrückt...
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese 8 Zahlen sind nicht die Erzeuger, sondern nur passende Exponenten für die Erzeuger , so man denn einen Erzeuger gefunden hat.
Weiter unten hast du es ja dann richtig gerechnet, aber hier an der Stelle ist es fehlerhaft deutbar formuliert.


3 ist wegen Erzeuger, ja.



hoch acht wegen den 8 teilerfremden, bzw exponenten?
weil 3^8 =16
wie kommst du jetzt direkt drauf dass 3^8 ein erzeuger ist? das verständnis fehlt mir jetzt noch und was hat das mit -1 ungleich 1 zutun?

ich nerv auhc nicht weiter ehrlich smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Keksi2016
wie kommst du jetzt direkt drauf dass 3^8 ein erzeuger ist?

Dergleichen habe ich nirgendwo behauptet - leg mir also nicht so einen fürchterlichen Unfug in den Mund!!! Forum Kloppe

Ich habe gesagt: 3 ist ein Erzeuger weil .

-----------------------------------------------------

Und das basiert auf folgender ebenfalls hilfreichen Eigenschaft:

Zitat:
ist genau dann erzeugendes Element, wenn für alle Primteiler von gilt.

D.h., statt die Potenzen für alle Exponenten durchzuprüfen genügen die doch viel weniger Exponenten der Struktur .

Hier im Fall mit ist das sogar nur dieser eine Primfaktor und damit der einzig zu prüfende Exponent . Man rechnet also schlicht





und ist mit der Überprüfung bereits fertig.
Keksi2016 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier im Fall mit ist das sogar nur dieser eine Primfaktor und damit der einzig zu prüfende Exponent . Man rechnet also schlicht






2,4,8 nimmst du weil man den primfaktor 2 hat und dann halt die potenzen ^2 (2, 2^2, 2^3) bis 8?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme die Exponenten 2,4,8, weil das der kürzeste Weg ist, um manuell sukzessive auszurechnen, d.h. via sowie anschließend .

Nicht, dass ich die Zwischenergebnisse oder brauchen würde - aber wenn sie schon auf dem Weg liegen, dann kann man auch gleich auf Wert 1 überpüfen. Und wenn der tatsächlich eintritt, dann kann man sofort die Überprüfung beenden mit Ergebnis "kein erzeugendes Element" - ist hier aber eben nicht passiert.

Das gleiche mit g=2 wäre übrigens so abgelaufen:



Abbruch, weil Wert 1 auftritt

Damit ist 2 kein erzeugendes Element hier.


Aber weißt du was: Das ist nur ein Angebot zur Rechenaufwandsverkürzung, welches du nicht annehmen musst, wenn du es nicht verstehst. Der Weg über die Berechnung aller von bleibt dir unbenommen - dauert länger, ist aber solide. Augenzwinkern


P.S.: Hier im Board gibt es eine Zitierfunktion (Button "Zitat" halbrechts oben über jedem Beitrag). Nutze die bitte, um Zitate anderer von deinen Überlegungen deutlich zu trennen - das hast du nun schon zum wiederholten Male versäumt. unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es auch so sehen.

Das Element 3 erzeugt eine Untergruppe von :



Nach einem elementaren Satz der Gruppentheorie teilt aber die Ordnung einer Untergruppe immer die Gruppenordnung. Letztere ist hier 16. Für die Ordnung von kommt daher nur eine der Zahlen 1,2,4,8,16 in Frage. kann nicht sein, da ja neben dem neutralen schon das Element 3 enthält. Wäre oder oder , dann müßte oder oder sein. Da aber ist, bleibt nur noch übrig.
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