Lösung einer DGL in einer weitern DGL mit expliziter Zeitabhängigkeit nutzen

29.08.2019, 14:42

vogs

Lösung einer DGL in einer weitern DGL mit expliziter Zeitabhängigkeit nutzen

Angenommen $\begin{eqnarray*} \bar{x}(t) \end{eqnarray*}$ ist die Lösung der DGL
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}x=g(x) \end{eqnarray*}$ .

Warum gilt dann folgendes?
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\bar{x}(t)=g(\bar{x}(t)) \end{eqnarray*}$

Bzw. anders gefragt, warum muss ich voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} \bar{x}(t) \end{eqnarray*}$ eine Lösung der 1. DGL ist um das dann in der 2. verwenden zu können?

29.08.2019, 14:56

klarsoweit

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RE: Lösung einer DGL in einer weitern DGL mit expliziter Zeitabhängigkeit nutzen
Im Moment verstehe ich noch nicht den Titel des Threads, aber in dieser Gleichung:

Zitat:

Original von vogs
Angenommen $\begin{eqnarray*} \bar{x}(t) \end{eqnarray*}$ ist die Lösung der DGL
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}x=g(x) \end{eqnarray*}$ .

ist das x eine von t abhängige Funktion. Wenn du eine Lösung dieser DGL in die Gleichung einsetzt, gilt die Gleichung per se.

29.08.2019, 14:56

HAL 9000

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Irgendwie eine sehr seltsame Frage: Das ist doch die eine Lösung der DGL definierende Eigenschaft, dass die Lösungsfunktion eingesetzt die (Differential-)Gleichung erfüllt.

Ist umgekehrt $\begin{eqnarray*} \bar{x}(t) \end{eqnarray*}$ keine Lösung der DGL, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\bar{x}(t)=g(\bar{x}(t)) \end{eqnarray*}$ für mindestens ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt: Entweder weil die Gleichheit nicht gilt, oder sogar weil die Ableitung links dort gar nicht existiert.

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