Art kritischer (Lagrange-)Punkte

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Hey Leute Wink

Ein scheinbar einfaches Problem hat es meiner Meinung nach ordentlich in sich. Die kritischen Punkte der Funktion bzgl. der Nebenbedingung berechnen sich recht einfach zu:
, und .

Leider kann ich zu keinem dieser kritischen Punkte eine Aussage über ihre Art treffen (Min, Max, SP). Weder die Hessematrix (der Lagrangefunktion) in den Punkten, noch die geränderte Hessematrix, noch die quadratische Form bzgl. der Tangentialräume liefern mir eine Aussage. Habt ihr eine Idee wie die Art der kritischen Punkte jetzt noch rechnerisch nachgewiesen werden können?
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Wegen der Nebenbedingung ist doch einfach
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Ja genau. Und dass die Parabel ein Minimum aufweist bei darf ich dafür nutzen, dass es sich bei und um Minima handelt?

Und was ist mit dem Punkt ?
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Ja. Aber ich sehe gerade nicht, wie du auf kommst
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Einsetzmethode: hat den Rand . Dadurch kommt er als kritischer Punkt in Frage.
Lagrange Methode: Der Gradient der Nebenbedingung verschwindet im Punkt . Da er auch die Nebenbedingung selbst erfüllt, kommt er als kritischer Punkt in Frage. (In mancher Literatur heißt das "Rangbedingung").
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Wieso Rand bei der Einsetzmethode? Die Nebenbedingung beschreibt doch die beiden Winkelhalbierenden in der x-y-Ebene.

Wieso Gradient der Nebenbedingung? Ich habe noch nie gesehen, dass man die Nebenbedingung ableitet.
Edit: Jetzt habe ich verstanden, was du meinst. Mein Fehler.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Schau dir mal bei
Wikipedia
das Beispiel mit verschwindendem Gradienten an.
Oder schau mal in Peter Furlan (2012): "Das Gelbe Rechenbuch 2", S. 106 nach (siehe Anhang).

[attach]49625[/attach]

EDIT: Sry du hast schon editiert. Aber hast schon Recht, war ein bisschen blöd von mir das als "Rand" zu bezeichnen, weils ja kreuzende Winkelhalbierende sind.
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Beim Einsetzen gibt's meiner Meinung nach nichts weiter zu sagen.
Wenn man (0,0) gesondert betrachten will, dann ist das aber auch schnell erledigt: und
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Ich sehe was du meinst. Habs auch noch mal am Höhenlinienbild überprüft. Kann man sagen, dass es ein Sattelpunkt ist?
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Und ich sehe, dass ich da die unrestringierte Funktion f betrachtete habe. Das ist ist nicht falsch, aber auch nicht nützlich.
Die unrestringierte Funktion f hat keinen Sattelpunkt, weil der Gradient von f nicht verschwindet.

Mit der Nebenbedingung vereinfacht sich f zu , also auch kein Sattelpunkt.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Ok aber genau das verstehe ich nicht. Der Punkt ist ja zweifelsfrei ein kritischer Punkt. Und solche werden ja eingeteilt in Maxima, Minima und Sattelpunkte. Also einer dieser 3 Arte muss ja hier vorliegen. Aber welche?
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
In welchem Sinn ist das ein kritischer Punkt? Welcher Gradient verschwindet im Punkt (0,0)?

Es ist ein besonderer Punkt, weil er der Lagrangemethode nicht zugänglich ist, eben weil die Rangbedingung nicht erfüllt ist.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Das bedeutet also, dass es sich bei (0,0) nur um einen möglichen kritische Punkte handelt, weil er die Rangbedingung nicht erfüllt, aber schlussendlich doch keiner ist? Dass es kein Extremum ist, sehe ich ein, wird ja auch am Niveaulinienbild ersichtlich.

Nur am Sattelpunkt halte ich noch etwas fest. In jeder Umgebung um den Punkt gibt es größere und kleinere Funktionswerte und es ist ein besonderer Punkt. Ich hätte gedacht diese beiden Informationen sind hinreichend für einen Sattelpunkt. Was genau muss denn für einen Sattelpunkt erfüllt sein, bzw. was fehlt diesem besonderen Punkt dafür ein Sattelpunkt zu sein?

EDIT: Zu deiner Frage: Es verschwindet der Gradient der Nebenbedingung in diesem Punkt und er erfüllt die Nebenbedingung selbst. Das macht ihn zu einem möglichen kritischen Punkt.
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RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
(0,0) ist ein kritischer Punkt von , das ist richtig.Ich verstehe aber nicht, wie du daraus einen Sattelpunkt von f konstruieren willst.
Im hier vorliegenden Kontext sagt ein kritischer Punkt der Nebenbedingung nur aus, dass man nicht weiß, ob überhaupt passende Lagrange-Multiplikatoren existieren. Eine solche Stelle muss man also mit anderen Methoden angehen.

Betrachtet man f ohne Nebenbedingung, dann ist , also hat f keinen Sattelpunkt. Mit Nebenbedingung landet man bei der bereits genannten Parabel, die auch keinen Sattelpunkt hat und in einer Umgebung von x=0 sogar streng monoton fallend ist.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Art kritischer (Lagrange-)Punkte
Also kann man abschließend festhalten, dass es sich bei (0,0) zwar um einen interessanten Punkt handelt, der weiter untersucht werden muss. Aber bei genauer Untersuchung sich herausstellt, dass er weder Min noch Max noch Sattelpunkt ist und damit dieser "mögliche" kritische Punkt in Wirklichkeit doch keiner ist?

EDIT: Vielen Dank für deine Hilfe URL!!
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