Wie viele durch b teilbar?

31.08.2019, 10:03	Matheforscher007	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele durch b teilbar? Meine Frage: Hallo! Wie beweist man folgende Aussagen? Seien a,b natürliche Zahlen, b ungleich 0. [...] Bezeichne die gaußche Abfindungsfunktion. (1) ab aufeinanderfolgende Zahlen enthalten genau a durch b teilbare Zahlen. (2) a aufeinanderfolgende Zahlen enthalten mindestens [a/b] durch b teilbare Zahlen. (3) a aufeinanderfolgende Zahlen enthalten maximal [a/b]+1 durch b teilbare Zahlen. Meine Ideen:* Vielen Dank!!
31.08.2019, 10:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirklich Abfindungsfunktion, oder doch eher Abrundungsfunktion? (3) scheint mir nicht scharf zu sein, denn im Fall $\begin{eqnarray} b\mid a \end{eqnarray}$ kann das angegebene Maximum nicht erreicht werden. Besser ist da $\begin{eqnarray} \left\lfloor \frac{a-1}{b}\right\rfloor + 1 = \left\lceil \frac{a}{b}\right\rceil \end{eqnarray}$ , mit der Gaußschen Aufrundungsfunktion $\begin{eqnarray} \lceil \ldots \rceil \end{eqnarray}$ .
31.08.2019, 10:17	Matheforscher 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, war ein Schreibfehler. Abrundung. Ja, stimmt. Wie könnte man das beweisen?
31.08.2019, 10:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise doch erstmal (1). In (2) und (3) kannst du jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ hinsichtlich Division durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ zerlegen in Quotient $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ und Rest $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} a = qb + r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q=\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq b-1 \end{eqnarray}$ . (2) Jede Folge von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aufeinander folgenden Zahlen enthält dann wegen $\begin{eqnarray} a\geq qb \end{eqnarray}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} qb \end{eqnarray}$ aufeinander folgenden Zahlen. Diese Teilfolge enthält wegen (1) genau $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ teilbare Zahlen ... (3) Jede Folge von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aufeinander folgenden Zahlen ist wegen $\begin{eqnarray} a+1\leq (q+1)b \end{eqnarray}$ vollständig in einer Teilfolge von $\begin{eqnarray} (q+1)b \end{eqnarray}$ aufeinander folgenden Zahlen enthalten. Jene größere Folge enthält wegen (1) genau $\begin{eqnarray} q+1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ teilbare Zahlen ... D.h., passend zuende geführt sind (2)(3) lediglich Folgerungen von (1).
31.08.2019, 11:59	Matheforscher007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme nicht auf die Beweise. Kannst du sie vielleicht einfach schreiben und ich Versuche sie zu verstehen? Ich wäre sehr dankbar!!
31.08.2019, 12:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Beweise von (2) und (3) habe ich de facto schon zu 90% hingeschrieben. Bei (1) könntest du wirklich mal selbst nachdenken!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »