Numerische DGL - Absolute Stabilität linearer MSV

03.09.2019, 10:54	Eckebrecht	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische DGL - Absolute Stabilität linearer MSV Hallo zusammen, nun hat mir das Forum im Laufe meines Studiums schon so oft geholfen, auf die Folgende Antwort konnte ich leider keine Antwort finden. Es geht um die Absolute Stabilität von linearen Mehrschrittverfahren. Im Allgemeinen betrachten wir dabei ja die Dahlquist-Testgleichung $\begin{eqnarray} y' = \lambda y \end{eqnarray}$ , genauer steht in unserem Skript, dass in aller Regel nur der Fall $\begin{eqnarray} \lambda < 0 \end{eqnarray}$ betrachtet wird, da dieser in der Praxis häufiger vorkommt. Kurz zu unserer Terminologie, die unterscheidet sich bestimmt hier und da von anderen: Bei uns heißt ein Verfahren absolut stabil in einem Punkt $\begin{eqnarray} \lambda h \end{eqnarray}$ , wenn in diesem Punkt alle Nullstellen des Stabilitätspolynoms $\begin{eqnarray} \pi (z) = \sum_{i=0}^{k} (\alpha_i - \lambda h \beta_i) \cdot z^i \end{eqnarray}$ vom Betrage her kleiner als 1 sind. Entsprechend ist das Gebiet absoluter Stabilität dann die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray} \lambda h \end{eqnarray}$ und wir haben A-stabilität wenn die komplette linke Halbebene der komplexen Zahlen im Bereich absoluter Stabilität enthalten ist. Die Definition macht für mich Sinn. Wir haben hergeleitet dass das direkt mit den Nullstellen des Stabilitätspolynom zusammenhängt - alles soweit verständlich. Die Absolute Stabilität wurde für uns heuristisch so eingeführt, dass wir absolute Stabilität dann haben, wenn der Fehler des Verfahrens für eine Feste Schrittweite und fortschreitende Iteration gegen 0 geht. Wenn wir also ein Paar $\begin{eqnarray} \lambda, h \end{eqnarray}$ haben, das im Bereich der absoluten Stabilität eines Verfahrens liegt und $\begin{eqnarray} \lambda <0 \end{eqnarray}$ ist, dann haben wir eine Exakte Lösung des Problems das gegen 0 geht und wegen der absoluten Stabilität haben wir auch einen Fehler der gegen 0 geht. Soweit so gut. Mein Problem liegt un im Falle $\begin{eqnarray} \lambda >0 \end{eqnarray}$ . In diesem Falle explodiert die exakte Lösung der DGL. Unser Skript sagt nun, dass der Fehler eines Verfahrens immer skaliert mit der Größe der Lösung. Das heißt für diese DGL (z.B. $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ) kann ein Verfahren keine Lösung liefern deren Fehler gegen 0 geht. Nun hat doch aber Beispielsweise das explizite Euler Verfahren einen Bereich absoluter Stabilität, in dem auch positive Werte für $\begin{eqnarray} \lambda h \end{eqnarray}$ enthalten sind. Mein Problem ist nun, dass ich absolut nicht versteh, was mir das nun sagen soll. Was bedeutet es, wenn ich absolute Stabilität für Werte größer als 0 gegeben habe? Ich hoffe mir kann dabei jemand helfen, Liebe Grüße, Johannes P.S.: Den Thread [WS] A-Stabilität hab ich mir angeschaut, der hat auch viel geholfen aber bei der Frage hilft mir das irgendwie auch nicht weiter...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »