Integration

03.09.2019, 13:57

Problemnoob

Integration

Hallo,

ich komme bei einer Integrationsaufgabe nicht weiter.
Ich weiß, dass ich später substituieren muss, jedoch tue ich mich schwer die Aufgabe erstmal zu vereinfachen.

Danke für die Hilfestellungen

LG

03.09.2019, 14:04

Problemnoob

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Hallo,

Ich hab’s mittlerweile selber gelöst bekommen.
Sry, für die Unannehmlichkeiten.
Danke

03.09.2019, 15:06

mYthos

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Von wem hast du es gelöst bekommen?
Substituieren musst du nicht - obgleich es offensichtlich damit auch funktioniert. Es bietet sich hier auch die PBZ (Partialbruchzerlegung) an.

Der Integrand lässt sich zu $\begin{eqnarray*} 8 \cdot \frac{2+t}{t \cdot (t+4)} \end{eqnarray*}$ umformen und damit stehen die beiden PB $\begin{eqnarray*} \frac A t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac B {t+4} \end{eqnarray*}$ direkt schon da.

mY+

04.09.2019, 13:00

Problemnoob

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Hallo,

Ich hab es etwas umständlicher gemacht.

Als erster habe ich t*(t+4) ausmultipliziert.
Danach habe ich 2 ausgeklammert, sodass man in der Klammer 1/2 t^2+2t bekommt. Diese substituiere ich und später kürzt sich t+2 im Zähler raus.

04.09.2019, 17:52

mYthos

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Ja, so stimmt es. Ich habe ja vordem eh geschrieben, dass es mit der Substitution auch funktioniert.
--------
Immerhin, jetzt kennst du zwei Lösungsmöglichkeiten!

mY+

05.09.2019, 16:49

Problemnoob

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Das mit der PBZ habe ich nicht so verstanden. Kann auch sein, weil ich es nie angewendet habe. Kann man die beiden Brüche denn dann einzeln integrieren?
Was ist A und B?

LG

05.09.2019, 21:22

klauss

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RE: Integration
Im früher mal gepriesenen Bayerischen Abitur würde es heute genügen, wenn man es schafft, den Integranden zu
$\begin{eqnarray*} 4\cdot \frac{2t+4}{t^{2}+4t } \end{eqnarray*}$
umzuformen.
Für den verbleibenden Spezialfall
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{f'(t)}{f(t)} \, dt \end{eqnarray*}$
stellt die Merkhilfe eine Formel zur Verfügung.

06.09.2019, 01:43

mYthos

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Zitat:

Original von Problemnoob
...
Kann man die beiden Brüche denn dann einzeln integrieren?
Was ist A und B?
...

Ja, das kann man. A und B sind die zu berechnenden Zähler der beiden Brüche, dies geschieht mittels Koeffizientenvergleich.

$\begin{eqnarray*} \frac A t + \frac B {t+4} = \frac{2+t}{t \cdot (t+4)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} At + 4A + Bt = 2 + t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(A+B) + 4A = t+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^1: \ A+B = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^0: \ 4A=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac 1 2; \ B = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Die Integration der beiden Brüche liefert jeweils einen Logarithmus ..

mY+

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