Strecken berechnen

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Mathema Auf diesen Beitrag antworten »
Strecken berechnen
Hallo,

eine Aufgabe aus dem Schulbuch (9. Klasse) lautet: Berechne die Längen x und y. Das Thema ist "Satzgruppe des Pythagoras", Winkelfunktionen sind also noch unbekannt. Sieht jemand, wie man mit Pythagoras und Co. diese Aufgabe lösen kann?

[attach]49631[/attach]
G030919 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strecken berechnen
Zeichne Hilfslinien für rechtwinkelige Dreiecke ein.
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf wäre ich ja nie gekommen, wenn von der Satzgruppe des Pythagoras die Rede ist...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

vermutlich soll man schon die Eigenschaften des gleichseitigen 3ecks aus- bzw. benutzen Augenzwinkern
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

welches gleichseitige Dreieck meinst du? Die Strecke y ist jedenfalls ungefähr 4,55 (wie man trigonometrisch nachrechnet und das Lösungsbuch auch als Lösung ausgibt).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Verdacht war, dass das ganze aus zwei gleichseitigen Dreiecken in der Mitte, und zwei Hälften eines gleichseitigigen Dreiecks - ganz links und ganz rechts je eine Hälfte - zusammengesetzt ist. Aber so schlecht kann man gar nicht runden, denn dann müsste die Höhe ja



sein. Wenn die 4,70 statt 4,80 angegeben hätten, Ok - aber so... unglücklich
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die zwei meinte (auch) ich

mit

Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ah - ein großes Dreieck zeichnen also. Hab Dank! Dir noch einen schönen Abend! Wink
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strecken berechnen
Am besten ginge es natürlich schon mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus, nämlich so:

x*cos(60°) + y*sin(60°) = 5.4
x*sin(60°) + y*cos(60°) = 4.8

Die (zwar noch nicht "behandelten") Zahlenwerte von sin(60°) und cos(60°) kann man mittels Pythagoras berechnen.

Will man diese Idee nicht nutzen, kommt man halt etwa auf ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten, nämlich den Katheten der 30°-60°-90°-Dreiecke in der Zeichnung von riwe.
skysport Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nur 2 Gleichungen und 2 Unbekannte:





Dabei sind die jeweils ersten Summanden die entsprechenden Höhen(terme) gleichseitiger Dreiecke, welche man ggf. durch Pythagoras herleiten kann.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schöne Aufgabe!
Aber ich glaube nicht, dass ein Schüler das rausbekommt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathema:
nun hast du ja viel mehr unverhoffte Hilfe als du brauchen wirst smile
skysport Auf diesen Beitrag antworten »

Um Mathema ging es mir dabei eigentlich gar nicht, da er es laut seinem letzten Beitrag ja offenbar bereits verstanden hatte (auch wenn ich nicht verstehe, warum er nach dem Beitrag mit riwes Skizze ein großes Dreieck erwähnt).

Ich fand bis dato wurde im Thread noch an keiner Stelle umissverständlich deutlich, dass es um halbe gleichseitige Dreiecke geht. HAL9000 hatte es zwar als Verdacht erwähnt, aber die Rechenprobe ging bei ihm ja nicht auf.

Daher wollte ich das entsprechende Gleichungssystem für die Leute posten, die durch die Suchfunktion auch mal bei dieser Aufgabe landen und sich nach der Lektüre fragen, was denn hier genau der Kniff zur Lösung ist.


Zitat:
Aber ich glaube nicht, dass ein Schüler das rausbekommt.


Als Einführungs- oder Standardaufgabe würde ich das auch nicht einschätzen.
Jedoch als Vertiefungs- oder kleine Knobelaufgabe kann das durchaus geeignet sein, um auch Schüler etwas zu fordern.
Gerade wenn vorher in der Schulstunde womöglich Pythagoras in gleichseitigen Dreiecken behandelt oder sogar die entsprechende Höhenformel hergeleitet wurde - naja dann ist die Aufgabe eigentlich auch nicht weiter schwer für einen Schüler.

Ich ergänze nochmal eine erweiterte Skizze für spätere Mitleser.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

manche Menschen sind halt hoffnungslos schlau unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht so schlau und hab eigentlich die ganze Zeit nur dieses Dreieck gesehen:

[attach]49637[/attach]

Und wenn man die blaue Linie z nennt, gilt nach Pythagoras sowohl

als auch

und somit


Das lässt sich dann algebraisch nach x und y auflösen. Oder? Wenn nicht, was mach ich falsch?

EDIT: es lässt sich natürlich nicht auflösen, ich habe da meinem CAS zu sehr vertraut.

Viele Grüße
Steffen
skysport Auf diesen Beitrag antworten »

Ein wunderbares Beispiel dafür, dass nach obigen Hinweisen uns "nicht so schlauen" eben noch nicht so klar war, was genau zu tun ist.
Ich hatte mich auch erst zu sehr auf ganze gleichseitige Dreiecke versteift und damit was versucht.

Ich befürchte bei deinem Ansatz brauchst du noch eine weitere Bedingung (Gleichung) mit x und y.
Du hast ja 3 Unbekannte und nur 2 Gleichungen (die letzte Gleichung entsteht ja nur durch gleichsetzen).
Etwas anderes als der schon oben genannte Zusammenhang fällt mir da aktuell auch nicht ein, damit hättest du dann deine zweite Gleichung.

Vielleicht hat der schlaue riwe ja einen Rat, wie man noch alternativ eine zweite Gleichung mit Benutzung deiner Dreiecke aufstellen kann. Freude
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist nun aber erst eine Gleichung für zwei Unbekannte. Eine weitere Gleichung erhält man etwa, indem man die Höhe 4.80cm der Figur unterteilt:

Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von skysport
Um Mathema ging es mir dabei eigentlich gar nicht, da er es laut seinem letzten Beitrag ja offenbar bereits verstanden hatte (auch wenn ich nicht verstehe, warum er nach dem Beitrag mit riwes Skizze ein großes Dreieck erwähnt).


Nur eine Skizze:

[attach]49639[/attach]

Also mit folgt:

Zitat:
Original von riwe




Und mit

Also ohne Gleichungssystem. Wink
skysport Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hübsch Freude

Die Berechnung von y ist so wahrscheinlich auch am effektivsten, wenngleich man (als Schüler) dann auch auf den Trichter mit der Gleichschenkligkeit kommen muss - also dass sich y damit auch auf der Höhe des großen Dreiecks wieder findet.

Für die Berechnung von x ergeben sich da schon etwas größere Hürden mit dem Einführen einer weiteren Unbekannten z und dem damit verbundenen Erkennen weiterer symmetrischer Dreiecke.
Hat dein Schüler denn z.B. die Schwerpunkteigenschaft zur Bestimmung von z ohne nachzuhaken geschluckt ? smile
Alternativ würde aber auch das durch Pythagoras gehen.

Ich hatte mich zudem noch gefragt, ob man bei der Aufgabe auch noch ähnliche Dreiecke finden und ausnutzen könnte. verwirrt
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