Faktorräume

03.09.2019, 17:33

Strahl

Faktorräume

Hallo,

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen kann, ich bedanke mich schonmal im Vorfeld für alle Antworten.

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ ein Teilraum.

Zeigen Sie: Ist dim(V/U) < unendlich , so gibt es einen Teilraum $\begin{eqnarray*} W \leq V \end{eqnarray*}$
mit dimW= dim(V/U) und $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W. \end{eqnarray*}$

(Hinweis: Sei m = dimW; wähle Vektoren $\begin{eqnarray*} w1,...,wm \in V \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ w1+U,...,wm+U \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V/U ist.

Meine Idee:

Es gilt: dim(V/U) = dimV - dimU

Dann sei Bu := $\begin{eqnarray*} \left\{u1,...,ud\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von U. Diese lässt sich ergänzen zu einer Basis

B := $\begin{eqnarray*} \left\{u1,...,ud,v1,...,vn\right\} \end{eqnarray*}$ von V. Dann sollte

W := Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} \left\{v1,...,vn\right\} \end{eqnarray*}$

die gewünschten Eigenschaften besitzen.

Diese Lösung scheint mir nur zu einfach zu sein und den Hinweis habe ich auch nicht benutzt.

Edit: Ist natürlich keine Schulmathematik, die Kategorie hatte ich ganz übersehen, sorry..

Hab‘s verschoben. Steffen

03.09.2019, 18:14

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RE: Faktorräume
U und V sind nicht als endlichdimensional vorausgesetzt.

03.09.2019, 18:36

Strahl

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RE: Faktorräume

Zitat:

Original von URL
U und V sind nicht als endlichdimensional vorausgesetzt.

Sicher? Oder hast du dich vielleicht überlesen?

Da dim(V/U) < unendlich

ist also

dimV - dimU < unendlich

Wenn

dimV = unendlich

dann muss wohl auch

dimU = unendlich

sein. Aber eine Differenz 2er Unendlichkeiten welche wieder endlich ist, fühlt sich für mich gerade irgendwie seltsam an.

03.09.2019, 18:47

URL

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RE: Faktorräume
Die Gleichung dim(V/U) = dimV - dimU gilt nur im Fall endlichdimensionaler Vektorräume.

05.09.2019, 09:43

Strahl

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RE: Faktorräume
Okay ich probiers dann nochmal, ich wollte erst was mit dem Basisergänzungssatz machen, aber ich glaube der gilt auch nur für endliche Dimension.

Ist dim(V/U) = m dann sei B/ := {w1 + U,..., wm + U} Basis von V/U. Da es den surjektiven kanonischen Homomorphismus

pi: V --> V/U, pi(v) = v + U (Außerdem: Kern(pi) = U)

gibt, folgt dass die Vektoren w1,...,wm linear unabbhängig in V sind. Sei W definiert als das Erzeugnis von w1,...,wm. Behauptung:

$\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$ = {0}

Sei 0 =/= v ein Element aus der Schnittmenge. Da v Element von W ist folgt:

v = k1*w1+...+km*wm => pi(v) =/= 0

Für v Element von U folgt:

pi(v) = 0

Widerspruch, also v = 0.

Sei nun v ein beliebiger Vektor aus V, der kein Element von U ist. Dann ist

pi(v) = v + U = k1*w1+...+ km*wm +U =/= 0 <=> v = k1*w1+...+km*wm + u

für ein u Element von U. Also ist jeder Vektor in V auch in $\begin{eqnarray*} U \oplus W \end{eqnarray*}$ und dann gilt auch die Gleichheit.

06.09.2019, 10:46

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RE: Faktorräume
Woher stammt deine Folgerung pi(v) =/= 0 für v aus der Schnittmenge?
Richtig wäre 0=pi(v)=k1*w1+U+...+km*wm+U und daraus folgt k1=...=km=0 ( warum?)

07.09.2019, 18:27

Strahl

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RE: Faktorräume

Zitat:

Original von URL
Richtig wäre 0=pi(v)=k1*w1+U+...+km*wm+U und daraus folgt k1=...=km=0 ( warum?)

Weil k1*w1+U+...+km*wm+U eine Linearkombination von Basisvektoren von V/U ist.

Zitat:

Original von URL
Woher stammt deine Folgerung pi(v) =/= 0 für v aus der Schnittmenge?

Ich wollte einen kleinen Widerspruchsbeweis machen, indem ich mir erstmal angeschaut habe was passiert wenn 0=/=v nur Element von W ist, also pi(v)=/=0. Da dieses v aber auch in U ist folgt pi(v)=0. Widerspruch also existiert dieses v nicht. Ist natürlich deutlich umständlicher als deine Methode Hammer

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