Nicht-Exakte DGL

04.09.2019, 22:29	CentiMeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-Exakte DGL Meine Frage: Ich habe folgende DGL zu lösen: $\begin{eqnarray} (x)dy+(-y-3x^4-3x^2y^2)dx=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun habe ich $\begin{eqnarray} P_y=-1-6x^2y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q_x=1 \end{eqnarray}$ . Definitiv keine exakte DGL. Danach habe ich mit $\begin{eqnarray} \dfrac{P_y-Q_x}{Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dfrac{Q_x-P_y}{P} \end{eqnarray}$ getestet ob der Integrierende Faktor nur von y oder nur von x abhängt. Was nicht der Fall ist. Dann habe ich versucht den integrierenden Faktor M(x,y) durch eine Gleichung zu bestimmen: $\begin{eqnarray} \dfrac{dxM_{(x,y)}}{dx}=\dfrac{d(-y-3x^4-3x^2y^2)M_{(x,y)}}{dy} \end{eqnarray}$ (laut Formelbuch sollte diese Gleichung so stimmen, habe aber auch: $\begin{eqnarray} \dfrac{dxM_{(x,y)}}{dy}=\dfrac{d(-y-3x^4-3x^2y^2)M_{(x,y)}}{dx} \end{eqnarray}$ versucht). Mit den Gleichungen bin ich aber auch auf keinen grünen Zweig gekommen. Wenn mir jemand helfen kann mit dieser DGL wäre ich sehr dankbar.
04.09.2019, 22:49	CentiMeter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht-Exakte DGL Dies wäre noch die Lösung des Lehrers. Ich bin für M aber nie auf seine Lösung gekommen und finde keinen Weg zu seiner Lösung.
05.09.2019, 00:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wozu in der Musterlösung die erste Umformung dient. Dividiert man die gegebene Differentialgleichung unmittelbar durch $\begin{align} x^2 + y^2 \end{align}$ , so erhält man ja schon eine exakte Differentialgleichung: $\begin{align} u ~ \dd x + v ~ \dd y = 0 \ \ \text{mit} \ \ u = u(x,y) = - \left( \frac{y}{x^2 + y^2} + 3x^2 \right) \, , \ \ v = v(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2} \end{align}$ Von vorneherein gilt: $\begin{align} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \end{align}$ Und die berühmte Frage, wie man darauf kommt, wird man nicht zufriedenstellend beantworten können. Vielleicht Versuch und Irrtum, Erfahrung mit ähnlichen Differentialgleichungen, Intuition, Genialität, ...

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