Rationale Zahlen

06.09.2019, 19:00	Lukas1224	Auf diesen Beitrag antworten »
Rationale Zahlen Meine Frage: Hallo, Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe: Positive Zahlen sind angegeben a,b. Die Zahlen a^3, b^3 und a^2+b^2 sind rational. beweisen, dass die Zahlen a und b rational sind. Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe. Meine Ideen: Ich habe keine gute Idee. Ich habe versucht: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) Die linke Seite und a^2+b^2 auf der rechten Seite der Gleichung sind rationale so a+b ud ab sind beide rationale Zahlen oder beide sind rationale Zahlen. Ich kann den zweiten Fall beweisen, das ist alles.
06.09.2019, 21:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee finde ich gar nicht so schlecht. Neben deiner Identität habe ich auch noch $\begin{align} \left( a^3 - b^3 \right)^2 - \left( a^2 + b^2 \right)^3 \end{align}$ untersucht. Mit $\begin{align} p = a^3 \, , \ q = b^3 \, , \ r = a^2 + b^2 \end{align}$ kam ich schließlich auf $\begin{align} a = \frac{ p \cdot \left( -p^2 - q^2 + r^3 \right) \cdot \left( -p^2 + 2q^2 + r^3 \right)}{r \cdot \left( -p^2 - q^2 + 3pq + r^3 \right) \cdot \left( -p^2 - q^2 - 3pq + r^3 \right)} \end{align}$ Und für $\begin{align} b \end{align}$ gilt mutatis mutandis dasselbe. Vielleicht nicht der eleganteste Beweis, aber immerhin mal ein Anfang.
06.09.2019, 22:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit moderat großen Termen: $\begin{eqnarray} u = \frac{r^3-p^2-q^2}{3r} = \frac{(a^2+b^2)^3- a^6-b^6}{3(a^2+b^2)} = a^2b^2 \end{eqnarray}$ ist rational, ebenso $\begin{eqnarray} v = \frac{pq}{u} = ab \end{eqnarray}$ . Damit sind dann auch $\begin{eqnarray} \frac{p-q}{r+v} = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = a-b \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{p+q}{r-v} = \frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2} = a+b \end{eqnarray}$ rational, der letzte Schritt dürfte dann klar sein.
07.09.2019, 07:37	Lukas1224	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale Zahlen Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich verstehe jetzt alles.

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