Leere Konjunktion/Disjunktion |
06.09.2019, 23:50 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leere Konjunktion/Disjunktion Ich glaube nun, dass diese Festlegung in sich widersprüchlich ist, vielmehr müssen beiden der Wahrheitswert abgesprochen werden, denn (am Beispiel der leeren Disjunktion): eine Disjunktion ist wahr, wenn nicht beide Disjunkte falsch sind bzw. eines davon wahr ist; beide Definitionsteile sind äquivalent. Doch mit dem ersten ergäbe sich die Wahrheit der leeren Disjunktion, weil ohne eine Formel auch nicht beide Disjunkte falsch sein können, mit dem zweiten ergäbe sich die Falschheit, weil ohne eine Formel nicht eine Formel wahr sein kann. Wir haben also eine Paradoxie. Die Standardlehrmeinung wäre also Unsinn. |
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07.09.2019, 07:14 | G070919 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Leere Konjunktion/Disjunktion
Ich verstehe das nicht. Wahr können nur Aussagen sein. Ich sehe keine Aussage. |
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07.09.2019, 08:09 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um möglichst einfache Rechenregeln zu haben, möchte man doch, dass die Formel allgemeingültig ist. Setze nun , dann ist . Oder betrachte die folgende Interpretation: Null entspricht falsch und jede andere natürliche Zahl entspricht wahr. Man kann auch mit Mengen belegen, die Zahlen sind dann die Kardinalzahlen zu den Mengen, das Produkt ist das kartesische Produkt und die Summe die disjunkte Vereinigung. Auch hier ergibt sich und . |
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07.09.2019, 15:31 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es mag ja sein, dass man aus diesen oder jenen Gründen gern der leeren Disjunktion den Wahrheitswert 0 und der leeren Konjunktion den Wert 1 geben möchte, aber man kann es nicht, weil man dadurch widersprüchlich wird. Man kann ja gern definieren, was man will, aber keine Widersprüche, weil dadurch das System sofort trivial würde. Nochmal am Beispiel der leeren Disjunktion: Eine Disjunktion A v B bekommt den Wert 1, wenn A= 1 oder B = 1 bzw. (äquivalent!) wenn nicht A = 0 und B = 0, sonst 0. Wir wenden nun diese Definition strikt auf die leere Disjunktion D an, woraus folgt: D = 1, weil weder A noch B gleich 0 sind (es gibt ja keine Formeln A, B die überhaupt 0 sein können), doch genauso D = 0, weil weder A noch B gleich 1 sind. Aus der leeren Disjunktion und einem zugewiesenen Wahrheitswert folgt also immer ein Widerspruch. Die Standardlehrmeinung muss daher falsch sein. Oder hat mein Beweis einen Fehler? |
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07.09.2019, 20:13 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du beziehst dich auf irgendwelche A und B, die es nicht gibt. Das ergibt keinen Sinn und ist daher kein Beweis für irgendwas. Du versuchst zwanghaft die leere Disjunktion über Aussagen zu definieren, die es nicht gibt, das ist dein Fehler. |
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07.09.2019, 22:38 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sollen die De Morganschen Gesetze gültig bleiben, dann muss sein. Die Wahrheitswerte sind demnach nicht unabhängig voneinander. Betrachte nun die Definition der Bildmenge: . Aus der intuitiven Vorstellung der Bildmenge überlegt man sich , was gemäß Definition aber nach sich zieht. Oder betrachte die Definition des kartesischen Produkts zweier Mengen: Mir wird wohl niemand widersprechen, dass ist. Interpretiert man die Null als Kardinalzahl, dann ergibt sich aus der Forderung nur . Wegen muss daher sein, was zu führt. Für diese Überlegungen ist nur sinnvoll. Wir können ja auch frech sein und finden, uns tangiert nicht, was die aktuelle Lehrmeinung ist. Aber die Einschränkung der Definition auf nichtleere Mengen führt zu dutzenden undefinierten Spezialfällen. Die Lücken könnte man an bestimmten Stellen durch modifizierte Definitionen bzw. Fallunterscheidungen ausfüllen, aber das macht alles nur komplizierter. |
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07.09.2019, 23:22 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Die semantische Definition für die Wahrheitswerte von Konjunktion und Disjunktion gilt ja nur für den Fall von mind. zwei Formeln. MaW: Die Konjunktion und Disjunktion von nichts wird dort gar nicht definiert und kann deshalb nunmehr definiert werden und da spricht - siehe Finn's Erläuterungen - eben einiges dafür, es so zu definieren, wie man es tut, um ein "ästhetischeres" System zu erhalten. |
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08.09.2019, 20:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leere Summen, Produkte und so weiter werden gemeinhin als neutrales Element der Operation festgelegt, zum Beispiel |
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20.11.2020, 13:16 | BlackBlizzard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus meiner Sicht ist es wie folgt: Eine Aussage über alle Elemente einer Menge M ist immer wahr, wenn M leer ist. (Alle Blätter eines Baumes sind pink, falls der Baum keine Blätter hat). Eine Existenzaussage über ein Element einer Menge M ist immer falsch, wenn M leer ist. (Es existiert kein pinkes Blatt an einem Baum, der keine Blätter hat). Daher ergeben sich auch die leere Konjunktion und die leere Disjunktion: Die Disjunktion ist immer wahr, gdw mindestens ein verknüpftes Element existiert, das wahr ist. Entsprechend ist die leere Disjunktion immer falsch, weil es kein erfüllendes Element gibt. Die Konjunktion ist immer wahr, gdw für alle verknüpften Elemente gilt, dass sie wahr sind. Entsprechend ist die leere Konjunktion immer wahr, weil alle verknüpften Elemente wahr sind. Daher ist die Standardlehrmeinung aus meiner Sicht korrekt. Beste Grüße BlackBlizzard |
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20.11.2020, 13:30 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Aussage ist weder wahr noch falsch, sondern Unsinn, weil Widerspruch in sich. Was nicht ist, kann nichts sein außer nicht existieren. Existenz ist keine Eigenschaft. https://www.hausarbeiten.de/document/200380 |
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