Leere Konjunktion/Disjunktion

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Leere Konjunktion/Disjunktion
Die leere Konjunktion wird immer mit dem Wert 1/wahr bezeichnet, die leere Disjunktion genau anders herum. Ist das reine Festlegung oder kann man das beweisen? ME ist das reine Festlegung, man könnte es genauso gut anders herum sehen oder gar beide gleich behandeln oder sogar beiden einen Wahrheitswert absprechen. Soweit die Standardlehrmeinung richtig wiedergegeben?

Ich glaube nun, dass diese Festlegung in sich widersprüchlich ist, vielmehr müssen beiden der Wahrheitswert abgesprochen werden, denn (am Beispiel der leeren Disjunktion): eine Disjunktion ist wahr, wenn nicht beide Disjunkte falsch sind bzw. eines davon wahr ist; beide Definitionsteile sind äquivalent. Doch mit dem ersten ergäbe sich die Wahrheit der leeren Disjunktion, weil ohne eine Formel auch nicht beide Disjunkte falsch sein können, mit dem zweiten ergäbe sich die Falschheit, weil ohne eine Formel nicht eine Formel wahr sein kann. Wir haben also eine Paradoxie. Die Standardlehrmeinung wäre also Unsinn. böse
G070919 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leere Konjunktion/Disjunktion
Zitat:
Die leere Konjunktion ∧∅ wird immer mit dem Wert 1/wahr bezeichnet, die leere Disjunktion ∨∅genau anders herum.


Ich verstehe das nicht. Wahr können nur Aussagen sein. Ich sehe keine Aussage. verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Um möglichst einfache Rechenregeln zu haben, möchte man doch, dass die Formel

allgemeingültig ist. Setze nun , dann ist
.

Oder betrachte die folgende Interpretation:






Null entspricht falsch und jede andere natürliche Zahl entspricht wahr. Man kann auch mit Mengen belegen, die Zahlen sind dann die Kardinalzahlen zu den Mengen, das Produkt ist das kartesische Produkt und die Summe die disjunkte Vereinigung.

Auch hier ergibt sich und .
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Es mag ja sein, dass man aus diesen oder jenen Gründen gern der leeren Disjunktion den Wahrheitswert 0 und der leeren Konjunktion den Wert 1 geben möchte, aber man kann es nicht, weil man dadurch widersprüchlich wird. Man kann ja gern definieren, was man will, aber keine Widersprüche, weil dadurch das System sofort trivial würde.

Nochmal am Beispiel der leeren Disjunktion: Eine Disjunktion A v B bekommt den Wert 1, wenn A= 1 oder B = 1 bzw. (äquivalent!) wenn nicht A = 0 und B = 0, sonst 0. Wir wenden nun diese Definition strikt auf die leere Disjunktion D an, woraus folgt: D = 1, weil weder A noch B gleich 0 sind (es gibt ja keine Formeln A, B die überhaupt 0 sein können), doch genauso D = 0, weil weder A noch B gleich 1 sind. Aus der leeren Disjunktion und einem zugewiesenen Wahrheitswert folgt also immer ein Widerspruch. Die Standardlehrmeinung muss daher falsch sein. Oder hat mein Beweis einen Fehler?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du beziehst dich auf irgendwelche A und B, die es nicht gibt. Das ergibt keinen Sinn und ist daher kein Beweis für irgendwas.

Du versuchst zwanghaft die leere Disjunktion über Aussagen zu definieren, die es nicht gibt, das ist dein Fehler.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sollen die De Morganschen Gesetze gültig bleiben, dann muss

sein. Die Wahrheitswerte sind demnach nicht unabhängig voneinander.

Betrachte nun die Definition der Bildmenge:
.

Aus der intuitiven Vorstellung der Bildmenge überlegt man sich , was gemäß Definition aber

nach sich zieht.

Oder betrachte die Definition des kartesischen Produkts zweier Mengen:


Mir wird wohl niemand widersprechen, dass ist. Interpretiert man die Null als Kardinalzahl, dann ergibt sich aus der Forderung nur . Wegen muss daher sein, was zu

führt.

Für diese Überlegungen ist nur sinnvoll.

Wir können ja auch frech sein und finden, uns tangiert nicht, was die aktuelle Lehrmeinung ist. Aber die Einschränkung der Definition auf nichtleere Mengen führt zu dutzenden undefinierten Spezialfällen. Die Lücken könnte man an bestimmten Stellen durch modifizierte Definitionen bzw. Fallunterscheidungen ausfüllen, aber das macht alles nur komplizierter.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Du beziehst dich auf irgendwelche A und B, die es nicht gibt. Das ergibt keinen Sinn und ist daher kein Beweis für irgendwas.

Du versuchst zwanghaft die leere Disjunktion über Aussagen zu definieren, die es nicht gibt, das ist dein Fehler.


Stimmt. geschockt Die semantische Definition für die Wahrheitswerte von Konjunktion und Disjunktion gilt ja nur für den Fall von mind. zwei Formeln. MaW: Die Konjunktion und Disjunktion von nichts wird dort gar nicht definiert und kann deshalb nunmehr definiert werden und da spricht - siehe Finn's Erläuterungen - eben einiges dafür, es so zu definieren, wie man es tut, um ein "ästhetischeres" System zu erhalten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Leere Summen, Produkte und so weiter werden gemeinhin als neutrales Element der Operation festgelegt, zum Beispiel







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