Lineare Abbildung aus Vektoren bestimmen

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matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung aus Vektoren bestimmen
Hallo,

ich bin dabei für eine Mathe Klausur zu üben und versuche mich an folgender Aufgabe:
[attach]49654[/attach]

Leider bin ich mir bei meinem Ansatz komplett unsicher (eventuell verwirrt mich das Alpha auch einfach ...).

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, was ich im Aufgabenteil a) und c) machen muss?

Für c) war mein Ansatz die Bildvektoren mit einer generischen Matrix
code:
1:
2:
3:
| a b c |
| d e f |
| g h i |

zu multiplizieren, um 9 Gleichungen zu erhalten. Soweit richtig? Wie es danach weitergeht habe ich allerdings auch noch nicht auf dem Schirm.

Vielen Dank und viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen ist durch die ersten beiden Werte festgelegt. Damit ist (a) leicht zu beantworten.
Für (b) wird freundlicherweise vom Aufgabenersteller ein dritter Basisvektor und sein F-Wert zur Verfügung gestellt.
(c) ergibt sich daraus.
 
 
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, also würde folgendes gelten:

F[(0|1|1)]
=F[(1|1|0)&#8722traurig 1|0|−1)]
=F[(1|1|0)]−F[(1|0|−1)]
=(0|0|1)&#8722traurig 0|−2|0)
=(0|2|1)

und demnach die Linearität für a=0, korrekt?

Vielen Dank schonmal für diesen Hinweis - Gibt es zum Lösen so etwas wie eine algorithmische Lösung, oder muss man hier wirklich den "scharfen Blick" drauf haben?

−−−

Zum Teil c):

⇒ Nun habe ich ja 3 Basis-Vektoren und die dazugehörigen Bilder.
⇒ Die darstellende Matrix bezüglich der gegebenen Basis ist also die Matrix bei der die Spalten aus den gegebenen 3 Bildern der Basisvektoren bestehen!
⇒ Um die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis zu erhalten, muss ich demnach "lediglich" einen Basiswechsel durchführen?
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie ist die Formatierung zerstört worden und ich kann als Gast nicht editieren. Neuer Versuch:

F[(0|1|1)]
= F[(1|1|0) − (1|0|−1)]
= F[(1|1|0)] − F[(1|0|−1)]
= (0|0|1) − (0|−2|0)
= (0|2|1)

und demnach die Linearität für a = 0, korrekt?

Vielen Dank schonmal für diesen Hinweis - Gibt es zum Lösen so etwas wie eine algorithmische Lösung, oder muss man hier wirklich den "scharfen Blick" drauf haben?

−−−

Zum Teil c):

=> Nun habe ich ja 3 Basis-Vektoren und die dazugehörigen Bilder.
=> Die darstellende Matrix bezüglich der gegebenen Basis ist also die Matrix bei der die Spalten aus den gegebenen 3 Bildern der Basisvektoren bestehen!
=> Um die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis zu erhalten, muss ich demnach "lediglich" einen Basiswechsel durchführen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe altersbedingt immer unscharf, also kann es nicht am scharfen Blick liegen. Augenzwinkern Es liegt an der Erfahrung, die mich erkennen lässt, worauf die Aufgabe abzielt. Wären die 3 Urbilder eine Basis, dann gäbe es genau eine lineare Abbildung, die auf 3 beliebige Vektoren abbildet. Also ist nur für linear abhängige Urbilder die Aufgabe interessant. Gauß-Algorithmus zeigt, dass sie linear abhängig sind, heureka. Der Rest geht wie von selbst.

zu (c) Ich würde zuerst ausrechnen, wohin die Standardbasis abgebildet wird, indem ich die Standardbasisvektoren als Linearkombination der gegebenen Basisvektoren berechne und diese Linearkombination mit F abbilde. Das erspart Rechnerei mit Basiswechsel.
Danach (b) ist ein Klacks.
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr! Ich denke damit konnte ich die Aufgabe nun lösen:

Also komme ich auf folgende Linearkombinationen:
(1, 0, 0)^T = 1 * (1, 0, 0)^T
(0, 1, 0)^T = 1 * (1, 1, 0)^T - 1 * (1, 0, 0)^T
(0, 0, 1)^T = - 1 * (1, 0, -1)^T + 1 * (1, 0, 0)^T

Demnach dann:
F[(1, 0, 0)^T] = (0, 0, 0)^T
F[(0, 1, 0)^T] = F[(1, 1, 0)^T] - F[(1, 0, 0)^T] = (0, 0, 1)^T - (0, 0, 0)^T = (0, 0, 1)^T
F[(0, 0, 1)^T] = - F[(1, 0, -1)^T ] + F[(1, 0, 0)^T] = -(0, -2, 0)^T + (0, 0, 0)^T = (0, 2, 0)^T

Und die Spalten der Darstellungsmatrix besteht dann aus den resultierenden Vektoren:
A = {(0, 0, 0)^T, (0, 0, 1)^T, (0, 2, 0)^T}

Teil b) ist dann natürlich wirklich trivial:
A * (1, 2, 3)^T = (0, 6, 2)^T
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matheknecht
Und die Spalten der Darstellungsmatrix besteht dann aus den resultierenden Vektoren:
A = {(0, 0, 0)^T, (0, 0, 1)^T, (0, 2, 0)^T}

Man sagt besser und genauer: Die Darstellungsmatrix von bezüglich der Standardbasis ist

Kern und Rang ist noch zu bestimmen, das ist mit dieser Matrix kein Problem mehr.
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das kann man im Falle dieser Matrix ja trivial ablesen, da hier bereits eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, richtig?

rk(A) = 2
ker(A) = 1
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Rang(A)=dim(Bild(F))=2 stimmt.

ker(A)=1 ist falsch.
Der Kern von F ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Der Kern ist ein Untervektorraum von V, seine Dimension dim(ker(F)) ist gleich 1. Um den Kern zu berechnen muss man das homogene LGS Ax=0 lösen.
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Hups, ja da habe ich irgendwie unbewusst an dim(ker(A)) gedacht Big Laugh

In dem Falle hätte ich dann die Gleichungen
1*y = 0 => y = 0
2*z = 0 => z = 0

und x ist natürlich frei wählbar. Demnach hätten wir als Kern:

ker(A) = { v * (1, 0, 0)^T }

korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

geschafft fröhlich
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Yeah Tanzen Vielen Dank nochmal!
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