Zickzack in Ellipse

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klauss Auf diesen Beitrag antworten »
Zickzack in Ellipse
War grad nochmal an der Kreisaufgabe dran, dabei fiel mir eine Abwandlung für Tüftler ein.

Bestimme die beiden Halbachsen der Ellipse.

Unverhältnismäßig schwerer?
Unlösbar?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Unverhältnismäßig schwerer?
Unlösbar?

Zumindest "Unterbestimmt"! Der verlinkte Thread bietet ja schon mal die Kreislösung (d.h. die Ellipse mit gleich großen Halbachsen), aber es gibt natürlich noch mehr "echte" Ellipsenlösungen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zumindest "Unterbestimmt"!


Leuchtet ein. Thales fällt hier z. B. flach.
Vielleicht gäbe es dann parameterabhängige Formeln für die Halbachsen und für den allgemeinen Fall, die im Spezialfall mit der Kreislösung zusammenfallen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Vielleicht gäbe es dann parameterabhängige Formeln für die Halbachsen und für den allgemeinen Fall

In der Tat ist das der Schlüssel zur Lösung:

Ist die horizontale und die vertikale Halbachse in deiner Zeichnung, dann können wir das ganze durch horizontale Streckung mit dem Faktor auf das Kreisproblem mit Radius und den drei Weglängen abbilden, dieses wie bereits beschrieben lösen, und dann wieder rücktransformieren. smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Diese parameterabhängigen Beziehungen können berechnet werden.
Allerdings muss während der Rechnung eine der Halbachsen festgehalten werden, um damit das Verhältnis zu ermitteln.
Der Grund liegt darin, dass in der Endgleichung* nicht nur der Parameter , sondern auch eine der Halbachsen auftaucht.
Wie später zu sehen ist, kann diese in gewissen Grenzen frei gewählt werden und man bekommt damit das entsprechende und die andere Halbachse.

Sei also o.B.d.A die ('kleine') Halbachse zunächst gegeben, dann ist durch zu ersetzen.

Kurz zum Rechengang:

Die Gleichung der Ellipse lautet mit den o.a. Voraussetzungen:

bzw.


--------------------------
Nun werden die Koordinaten der durch a, b, c bestimmten Punkte A, B in die Ellipsengleichung eingesetzt



und damit das folgende System erstellt:




------------------------------------


---------------------------------


(*)

Diese gewöhnliche biquadratische Gleichung in ist algebraisch zu lösen, wobei nur reelle, positive Lösungen in Frage kommen.**

Natürlich ist auch klar ersichtlich, dass es unendlich viele Lösungen geben kann.
Zu bestimmten ** liefern die positiven Lösungen der biquadratischen Gleichung das von a, b, c, q abhängige Ergebnis für und damit auch von .

(**) Für die gegebenen a, b, c ist das Intervall für passende entsprechend begrenzt. Der Bereich von hängt von der Konstellation der Größen a, b, c ab.

[attach]49662[/attach]

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte ja an

Zitat:
Original von riwe

angewandt auf gedacht, im Klartext:

und .

D.h., nicht sondern als Parameter betrachten, wobei alle positiven reellen Zahlen durchläuft. Ist vermutlich der angenehmere Weg, wenn einfach nur nach allen Lösungen gefragt wird. Will man hingegen für vorgegebenes bzw. die jeweils andere Halbachse bestimmen, dann wird man den Weg von mYthos gehen.


P.S.: Ich betrachte wie von klauss angesetzt, nicht das umgekehrte wie bei mYthos.


Zitat:
Original von mYthos
Der Bereich von hängt von der Konstellation der Größen a, b, c ab.

Offenkundig muss gelten. Tatsächlich ist diese Ungleichung scharf, d.h. das Minimum wird auch erreicht durch , in dieser Konstellation liegt Strecke auf der vertikalen Halbachse. Nach oben sind keine Grenzen gesetzt, das sieht man sowohl für als auch .

Auf der anderen Seite gilt . Auch diese Grenze ist scharf, wie man für sieht. Nach oben sind auch keine Grenzen gesetzt, man betrachte dazu .
 
 
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zickzack in Ellipse
Die "Kreisaufgabe" war eindeutig lösbar.
Diese "Ellipsenaufgabe" ist es nicht, wie schon andere bemerkt haben.
Außerdem glaube ich, dass da noch eine nicht deklarierte Zusatzannahme gemacht werden soll, nämlich dass die Achsen der gesuchten Ellipse parallel / normal zu den gegebenen Strecken a,b,c verlaufen sollen (welche ich übrigens gerne anders bezeichnen würde, um a und b für die Halbachsen nehmen zu können).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rumar
Außerdem glaube ich, dass da noch eine nicht deklarierte Zusatzannahme gemacht werden soll, nämlich dass die Achsen der gesuchten Ellipse parallel / normal zu den gegebenen Strecken a,b,c verlaufen sollen

Ja klar, die Skizze im Eröffnungsposting und auch der Text dazu sind wohl so zu lesen. Wenn man hier auch noch optional eine Verdrehung zulassen will, dann wirds wirklich haarig.

Zitat:
Original von rumar
(welche ich übrigens gerne anders bezeichnen würde, um a und b für die Halbachsen nehmen zu können).

Man kann sich - auch wenn es schwer fällt - aber auch hier nun mit den Bezeichnungen arrangieren, auf die sich alle anderen (klauss, mYthos, ich) geeinigt haben. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die von mir angegebene Ellipsengleichung ist bereits die einer achsenparallelen Mittelpunktsellipse.
Mit den Achsen a, b lautet diese



Darin habe ich anstatt a und b eben p und q eingesetzt, mit
Übrigens habe ich damit die Affinität der Ellipse zu ihrem Nebenscheitelkreis im Sinne gehabt.

Die Annahme von HAL bzw. klauss, besser die Affinität zum Hauptscheitelkreis zu Grunde zu legen, ist angesichts der danach eingeführten Transformation tatsächlich besser.
An sich sind die beiden Lambdas ja austauschbar, eines ist ja nur der Kehrwert des anderen.

Auch beim Ansatz von HAL besteht nach wie vor das Problem, nur aus den Angaben von a, b, c eine Gleichung für (allein) zu erstellen.
Das funktioniert aber nur dann, wenn man entweder p oder q vorgibt, wie ich es ebenfalls im Vorpost bereits ausgeführt habe.
Darin habe ich natürlich - nicht explizit - als Parameter betrachtet und nicht , welches vorübergehend als konstant betrachtet wurde. Eigentlich sind in diesem Problem beides Parameter.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Auch beim Ansatz von HAL besteht nach wie vor das Problem, nur aus den Angaben von a, b, c eine Gleichung für (allein) zu erstellen.

Ich sehe da kein Problem, denn diese Gleichung gibt es nicht. Es fehlt ja wie gesagt ein Freiheitsgrad - ob man für den nun oder eine andere damit im Zusammenhang stehende Größe nimmt, ist im Bedarfsfall zu klären.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe in dieser interessanten Aufgabe auch kein "Problem" gesehen, es wäre denn eines, wollte man das Verhältnis der beiden Halbachsen alleine aus a, b, c berechnen.
Wie es vielleicht am Anfang ausgesehen hat. Dass das so nicht geht, ist mittlerweile klar.

Ich möchte das schöne Beispiel nun mit einem GeoGebra-Arbeitsblatt abschließen, auf dem alle Zusammenhänge gut ersichtlich sind.
Als Parameter wurde NICHT , sondern die kleine Halbachse eingeführt. Und ja, nun ist
Die Größen und sind dann (neben von a,b,c) daher noch von abhängig.

[attach]49667[/attach]

Bei Veränderungen mittels der 4 Schieberegler werden und sofort neu berechnet, angezeigt und damit auch das Bild neu gezeichnet.
------------
Das GGB für Interessierte ist im ZIP-Anhang.

mY+

[attach]49668[/attach]
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