Seitenverhältnis im Rechteck

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Seitenverhältnis im Rechteck
Ein Rechteck wächst wiefolgt:
Rechts wird ein Rechteck mit A=1 passend angefügt, danach ein Rechteck mit A=1 oben passend draufgelegt.

Das neue Rechteck wuchs somit um 2.
oder mit den Seiten

Start ist

gesucht ist das Seitenverhältnis

  • der momentane Stand ist
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kommt zu expliziten Darstellungen sowie ; für den Quotienten



könnte das Wallissche Produkt hilfreich sein. smile

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit etwas weniger "expliziter" Wucht: Aus der Problemstellung mündet die Rekursion


.

nutzend kann man die erste Gleichung umschreiben zu

,

desgleichen die zweite Gleichung zu



Das ergibt

mit Start ,

hier ist das Wallissche Produkt wohl noch besser erkennbar.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Man kommt zu expliziten Darstellungen sowie ; für den Quotienten




an dieser Stelle hätte ich den zentralen Binomilkoeffizient asymptotisch durch ersetzt (?)

Zitat:

Mit etwas weniger "expliziter" Wucht: Aus der Problemstellung mündet die Rekursion [...]
Das ergibt
mit Start ,

hier ist das Wallissche Produkt wohl noch besser erkennbar.


ja, das ist praktisch so gut wie

feine Sache, hatte so ca. 3/2 geschätzt... aber nicht geglaubt, ähnlich wie bei 2/3, das sich dann immer als 1-1/e entpuppt Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
an dieser Stelle hätte ich den zentralen Binomilkoeffizient asymptotisch durch ersetzt (?)

Basis und Exponent verwechselt? macht eher Sinn.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Verdreher ja klar.
Hier passt noch die schnelle Frage:
In einem n x n grid bewegen sich getaktet 2 Objekte aus diagonalen Ecken heraus aufeinander zu.

, nun soll aber gelten.
Da das Linke unpraktisch ist erst einmal mit rantasten.
Genaues Nachrechnen mit Links und eigenem Programm liefert denselben Wert. Die Wkts von 796 stimmen in 4 gü. Ziffern überein. Also ist die asymtotische Näherung gar nicht so schlecht wie von mir befürchtet. Oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Rahmen des Wallis-Beweises taucht die Ungleichung



auf, gültig für alle . Insbesondere für große ist das also eine gute Näherung - besser noch ist .


erfordert wegen (*) also notwendig , umgestellt , also .

Andererseits ist hinreichend für dann , was in mündet, ebenfalls .

Damit ist auch ohne Berechnung von klar, dass die exakte Lösung der Ungleichung ist.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

perfekt! Freude

nach dem edit: noch perfekter!
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