Normalvektor Kegel bestimmen

09.09.2019, 14:44	kegel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalvektor Kegel bestimmen Gegeben ist ein Kegel mit Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ und Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ (Der Radius der Kreisscheibe ist gemeint). Für einen Punkt ( $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ ) im Mantel soll ich jetzt den Normalvektor bestimmen der nach außen zeigt. Ich weiß dass man den Kegel darstellen kann mit $\begin{eqnarray} f(x,y,z):=x^2+y^2-(Rz/h)^2)=0 \end{eqnarray}$ und dann den Gradienten bildet und dieser ist dann kollinear zum Normalvektor. Der Gradient lautet $\begin{eqnarray} (2x,2y,2R^2z/h^2) \end{eqnarray}$ . Diesen müsste ich dann nur mehr normieren Ich habe es allerdings zuerst mit angepassten "Zylinderkoordinaten" versucht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\frac{R}{h}\cos(\phi)\\z\frac{R}{h}\sin(\phi)\\z\end{pmatrix}=:\psi(\phi, z) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \frac{\psi_\phi\times\psi_z}{\\|\psi_\phi\times\psi_z\\|_2} \end{eqnarray}$ ausrechnen wobei $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt ist: $\begin{eqnarray} \psi_\phi\times\psi_z=(-z\frac{R}{h}\sin(\phi),z\frac{R}{h}\cos(\phi),0)\times(\frac{R}{h}\cos(\phi),\frac{R}{h}\sin(\phi),1) \end{eqnarray}$ mit der Definition $\begin{eqnarray} x\times y:=\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \psi_\phi \end{eqnarray}$ ist die partielle Ableitung) Funktioniert meine Methode mit den angepassten Zylinderkoordinaten auch? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
10.09.2019, 08:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Fläche hat unendlich viele Möglichkeiten der Parametrisierung (z.B. Zylinderkoordinaten, kartesischen Koordinaten ... ). Der Normalvektor ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung immer der Gleiche. Es ist ja gerade der Sinn der Geometrie, diejenigen Begriffe zu finden, die von der Parametrisierung unabhängig sind. Das gilt z.B. auch für die Begriffe "Krümmung einer Fläche", "Flächeninhalt einer Fläche" usw. Es wäre schrecklich, wenn der Flächeninhalt deines Gartens von der Koordinatenwahl abhinge. Übrigens: Du meinst sicher mit $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ das Vektorprodukt - nicht das Skalarprodukt.

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