Aufteilung von Fischen

10.09.2019, 14:36

katring

Aufteilung von Fischen

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Per, Kari, Ole und Hilde sind am Fischen. Sie angeln 17 Makrelen.

a) Auf wie viele verschiedene Weisen können die Fische verteilt werden zwischen den Vieren?

b) Auf wie viele Weisen können die Fische verteilt werden, sodass Per mindestens 3 Fische hat, Kari mindestens 2 Fische, aber nicht mehr als 5.

c) Auf einer anderen Angeltour angeln sie 9 Kabeljau und eine Makrele. Auf wie viele Weisen können die Fische verteilt werden. Alle sollen mindestens einen Fisch bekommen.

10.09.2019, 14:48

HAL 9000

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Kombinationen mit Wiederholung (bzw. mit Zurücklegen)
Ist jetzt die Frage, ob man Fische desselben Typs als unterscheidbar ansehen soll oder nicht. Wegen Teilaufgabe c) würde ich mal auf "nicht" tippen.

a) Es wird 17-mal aus der 4-elementigen Menge {Per, Kari, Ole, Hilde} gewählt, mit Zurücklegen aber ohne Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge.

b) Antwort ist $\begin{eqnarray*} N_1-N_2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ : (17-3-2) = 12 aus 4, sonst wie in a)
$\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ : (17-3-6) = 8 aus 4, sonst wie in a)

c) (9+1-4) = 6 aus 4, sonst wie in a)

Die entstehende Anzahl wird noch mit 4 multipliziert, der einen Makrele wegen.

10.09.2019, 21:46

katring

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RE: Kombinationen mit Wiederholung (bzw. mit Zurücklegen)
DANKE!

11.09.2019, 21:27

katring

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RE: Kombinationen mit Wiederholung (bzw. mit Zurücklegen)
Hi.
Ich habe mal gerechnet und komme auf diese Ergebnisse. Kann das stimmen?

a) 2380

b) 495 - 70 = 425

c) hier bin ich mir unsicher, wegen der Rechnung 9 + 1 - 4
Das habe ich nicht wirklich verstanden. Kann das jemand erklæren?

12.09.2019, 07:48

HAL 9000

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Das sieht so aus, als hast du "Auswahl, 17, 4" gelesen, den Rest des Textes ignoriert, und dann blindlings $\begin{eqnarray*} \binom{17}{4} = 2830 \end{eqnarray*}$ gerechnet. Das passt vielleicht zu der anderen Situation

Zitat:

Es wird 4-mal aus einer 17-elementigen Menge gewählt, ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge.

um die geht es hier aber NICHT, sondern um

Zitat:

Original von HAL 9000
Es wird 17-mal aus der 4-elementigen Menge {Per, Kari, Ole, Hilde} gewählt, mit Zurücklegen aber ohne Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge.

D.h. Kombinationen mit Wiederholung von k=17 aus n=4 Elementen, dazu gehört die Anzahl

$\begin{eqnarray*} \binom{n+k-1}{k} = \binom{4+17-1}{17} = \binom{20}{17} = 1140 \end{eqnarray*}$ .

Denselben Verständnisfehler machst du dann natürlich auch bei b).

Zitat:

Original von katring
c) hier bin ich mir unsicher, wegen der Rechnung 9 + 1 - 4

9 Kabeljau + 1 Makrele - 4 Fische (für jeden Angler je ein Fisch) = 6 Fische zur freien Verteilung auf die 4 Angler

Die 4 werden abgezogen, damit man nicht die Kombinationen mitzählt, wo ein Angler keinen Fisch bekommt. Man packt als jedem der Angler schon mal vorab einen Fisch in den Korb, und verteilt dann nur noch die restlichen 6 Fische frei, damit ist die Nebenbedingung "jeder bekommt mindestens einen Fisch" erfüllt.

Was ähnliches geschieht ja auch schon bei b), nur dass es dort nur die zwei Angler Per (vorab 3 Fische) und Kari (vorab 2 Fische) betrifft. In der dann erhaltenen Anzahl $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ sind dann aber auch Kombinationen dabei, wo Per mindestens 6 Fische sowie und Kari mindestens 2 Fische bekommen - deren Anzahl $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ muss von $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ subtrahiert werden, damit auch die weitere Bedingung "Per nicht mehr als 5 Fische" erfüllt ist.

12.09.2019, 13:36

katring

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Vielen Dank für die Versuche, mir die Wahrscheinlichkeitsrechnung verständlich zu machen. Ich fühle mich immer noch auf dem Holzweg und muss mich eventuell in ein paar Tagen nochmal dran setzen.

Bin nun auf diese Ergebnisse gekommen:
a) hast du ja schon geschrieben 1140
b) 455 - 165 = 290
c) 480

Ich kenne diese Formel, die bei mir im Lehrbuch steht:
(k+n-1) ueber (n-1)
Die von dir benutzte Formel kenne ich gar nicht.

12.09.2019, 13:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von katring
Ich kenne diese Formel, die bei mir im Lehrbuch steht:
(k+n-1) ueber (n-1)
Die von dir benutzte Formel kenne ich gar nicht.

Das ist rum wie num, da für den Binomialkoeffizient die Symmetrie $\begin{eqnarray*} \binom{m}{k} = \binom{m}{m-k} \end{eqnarray*}$ zutrifft. Auf $\begin{eqnarray*} m=n+k-1 \end{eqnarray*}$ bezogen heißt das

$\begin{eqnarray*} \binom{n+k-1}{k} = \binom{n+k-1}{(n+k-1)-k} = \binom{n+k-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Du kannst also gern auch $\begin{eqnarray*} \binom{4+17-1}{4-1} = \binom{20}{3} = 1140 \end{eqnarray*}$ rechnen, stimmt ebenfalls.

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