Lösungskomponente für den Fall der Eindeutigkeit

11.09.2019, 14:46

ImaHanIDiBech

Lösungskomponente für den Fall der Eindeutigkeit

Guten Tag!

Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe fest. Diese besteht aus 2 Unteraufgaben.
Für eine sehr ähnliche Aufgabe (nur andere Werte) habe ich sogar die Lösung vorliegen.
Allerdings bereitet mir eben diese Lösung Kopfzerbrechen.

Das System ist das hier:
x1 - a*x2 + 0 = 0
8*x1 + 0 +2*x3 = 40
0 + 4*x2 + ax3 = 20

a) Für welche Werte von a des System gibt es eine eindeutige, keine oder unendlich viele Lösungen?
b) Man bestimme die Lösungskomponente x1 für den Fall der Eindeutigkeit.

Zu a)

Hier habe ich (genau wie in der Lösung der anderen Aufgabe auch) hiermit gerechnet:
1 -a 0
8 0 2
0 4 a

Als Determinante bekomme ich dann folgendes: D = 8a^2 -8 => Eindeutige Lsg. für alle Werte außer {+/- 1}

Für D1:
0 -a 0
40 0 2
20 4 a

Entsprechend kommt für D1: 40a^2 - 40a

Dasselbe Spiel bringt für:
D2: 40a - 40
D3: 160a - 160

Für a = 1 bedeutet das:
D1 = 0; D2 = 0; D3 = 0 => unendlich viele Lösungen

Für a = -1 bedeutet das:
D1 = 80; D2 = -80; D3 = -320 => Keine Lösung

Damit wäre Aufgabenteil a) nun fertig.

Zu b)
x1 = D1/D

Folglich:
(40a^2 - 40a)/(8a^2 - 8 )

Hier komme ich jetzt nun nicht weiter. Meine Lösung macht aus dem D = 8a^2 - 8 nun plötzlich ein 8a^2 - 8a.
(40a^2 - 40a)/(8a^2 - 8a ) => 5/1 => 5

Dementsprechend würde für x1 also 5 rauskommen. Aber ich kann mir einfach nicht erklären, wie das so gehen kann.

Würde ich mit meiner Version rechnen würde allerdings keine Zahl rauskommen, sondern ebenfalls etwas mit einem Bruch und der Variablen a.

Ich habe Aufgabenteil a) nun schon mehrfach durchgerechnet. Aber ich kann da bei mir keinen Fehler entdecken.

Vielleicht hat ja jemand anderes noch eine Idee. Danke

MfG

11.09.2019, 16:53

Huggy

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RE: Lösungskomponente für den Fall der Eindeutigkeit

Zitat:

Original von ImaHanIDiBech
Hier komme ich jetzt nun nicht weiter. Meine Lösung macht aus dem D = 8a^2 - 8 nun plötzlich ein 8a^2 - 8a.
(40a^2 - 40a)/(8a^2 - 8a ) => 5/1 => 5

Was meinst du mit meine Lösung? Das ist jedenfalls falsch.

Zitat:

Würde ich mit meiner Version rechnen würde allerdings keine Zahl rauskommen, sondern ebenfalls etwas mit einem Bruch und der Variablen a.

Das ist richtig. Es sollte sich

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac {5a}{1+a} \end{eqnarray*}$

ergeben.

11.09.2019, 16:56

ImaHanIDiBech

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Das meinte ich tatsächlich mit "meine" Lösung Big Laugh

Das mit dem x1 = 1 wäre die Lösung, wenn ich es wie in der Musterlösung gemacht hätte.

Dann bin ich aber erleichtert, dass ich das soweit richtig hatte.
Vielen Dank! Prost