Orthogonales Komplement bzgl. eines Skalarproduktes?

11.09.2019, 19:03

melina97

Orthogonales Komplement bzgl. eines Skalarproduktes?

Meine Frage:
Hallo liebe Nerds da draußen!

Vor kurzem wurde uns die folgende Aufgabe in der Klausur zur Linearen Algebra gestellt.

Obwohl ich bereits ein paar mal versucht habe die Aufgabe zu lösen fehlt mir bisher immer noch der entscheidende Ansatz. ;-(
Wie ihr seht sind es mehrere Teil-Aufgaben, aber stoße schon bei der ersten an meine Grenzen, d.h. ich komme insgesamt nicht weiter.

Habe bereits ein paar Freundinnen gefragt, doch die hatten auch so gut wie gar keinen Plan. Big Laugh

Wäre also cool wenn mir jemand mal die gedanklichen Schritte verraten kann wie ich bei so etwas vorgehen muss ..

Liebe Grüße
Eure Lina

Meine Ideen:
Bisher noch keine, aber werde hier editieren, falls mir was einfällt smile

11.09.2019, 19:18

Elvis

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Der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3 enthält sicher den Untervektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 2. Nun soll man einen vierten Basisvektor finden, so dass eine Basis des Untervektorraums zu einer Basis des Vektorraums ergänzt wird, UND der zusätzliche Basisvektor, der ja nur ein Polynom 3. Grades sein kann, soll bezüglich des Skalarproduktes orthogonal zum Untervektorraum sein. Das schreit nach Gram-Schmidt, benutze die Standardbasis {1,x,x²,x³} und rechne. Projektion sollte dann auch nicht mehr schwer sein.

Wenn du Gram-Schmidt noch nicht kennst, dann wird es Zeit, dass du ihn kennenlernst. Siehe hier (https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmi...erungsverfahren) unter "Algorithmus", da steht alles, was man wissen und können muss.

11.09.2019, 19:39

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Man kann den vierten Basisvektor auch in der Form $\begin{eqnarray*} p(x)=x^3+ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ ansetzen und sich über $\begin{eqnarray*} 0=<p,1>=<p,x>=<p,x^2> \end{eqnarray*}$ ein lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ beschaffen. Symmetrie bei der Berechnung der Integrale ausnutzen!

24.09.2019, 17:27

lexwin

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Ich saß an der selben Aufgabe und hab jetzt nach viel rumsuchen/rumprobieren folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} B = \{1,x,x^2,x^3\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1 = b_0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{w_1} = \frac{1}{\left \| w_1 \right \|} = \frac{1}{\sqrt{<w_1,w_1>}} = \frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1} 1 * 1 dx}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = b_1 - <\tilde{w_1},b_1> \tilde{w_1} = x - \left ( \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2}} x \right ) \frac{1}{\sqrt{2}} = x - 0 * \frac{1}{\sqrt{2}} = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{w_2} = \frac{1}{\left \| w_2 \right \|}x = \frac{1}{\sqrt{<w_2,w_2>}}x = \frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1}x*xdx}}x = \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}x \end{eqnarray*}$

Für die anderen habe ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} w_3 = x^2 - \frac{1}{3}, \tilde{w_3} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{5}}} x^2 w_4 = x^3 - \frac{3}{5}, \tilde{w_4} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{7}}} x^3 \end{eqnarray*}$

Sind meine $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_4 \end{eqnarray*}$ richtig und nun mein orthogonales Komplement oder muss noch was mit denen gemacht werden?

24.09.2019, 21:36

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Das ist unnötiger Aufwand, aber wenn du partout arbeiten willst smile

Bei $\begin{eqnarray*} \tilde w_3 \end{eqnarray*}$ fehlt der konstante Term, bei $\begin{eqnarray*} w_4 \end{eqnarray*}$ ein x und für $\begin{eqnarray*} \|w_4\|^2 \end{eqnarray*}$ bekomme ich 8/175.
Der vierte Basisvektor erzeugt das gesuchte orthogonale Komplement

24.09.2019, 23:31

lexwin

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Danke hab den Fehler gesehen

Mein $\begin{eqnarray*} \tilde{w_3} \end{eqnarray*}$ ist jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{15}}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} w_4 = x^3 - \frac{3}{5}x \end{eqnarray*}$

aber bei $\begin{eqnarray*} \tilde{w_4} \end{eqnarray*}$ kommt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\frac{92}{175}}}x^3 \end{eqnarray*}$ raus, kann natürlich sein dass ich mich nochmal irgendwo verrechnet habe; muss ich nochmal überprüfen

Der 4. Basisvektor ist in diesem Fall dann $\begin{eqnarray*} w_4 \end{eqnarray*}$ ? Also ist mein Vektor für die Projektion dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 0 0 1 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}\begin{pmatrix}0 1 0 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder nehme ich $\begin{eqnarray*} \tilde{w_4} \end{eqnarray*}$ ?

24.09.2019, 23:50

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wenn $\begin{eqnarray*} w_3=x^2-\frac 1 3 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss $\begin{eqnarray*} \tilde w_3 \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches davon sein. Dein $\begin{eqnarray*} \tilde w_3 \end{eqnarray*}$ muss also falsch sein. $\begin{eqnarray*} w_4 \end{eqnarray*}$ habe ich auch. $\begin{eqnarray*} \tilde w_4 \end{eqnarray*}$ ist falsch.

25.09.2019, 00:05

lexwin

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Danke, wieder was übersehen

Hab bei $\begin{eqnarray*} \tilde{w_4}= \frac{1}{\sqrt{\frac{8}{175}}}x^3 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} \tilde{w_3}= \frac{1}{\sqrt{\frac{8}{45}}}x^2 \end{eqnarray*}$

25.09.2019, 00:11

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Nein, das muss beides falsch sein. Wenn du $\begin{eqnarray*} w_3=x^2-\frac 1 3 \end{eqnarray*}$ normierst, muss etwas von der Form $\begin{eqnarray*} \lambda (x^2-\frac 1 3) \end{eqnarray*}$ herauskommen und niemals ein Polynom ohne konstanten Term.

25.09.2019, 10:31

lexwin

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$\begin{eqnarray*} \tilde{w_4}= \frac{1}{\sqrt{\frac{8}{175}}}(x^3-\frac{3}{5}x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{w_3}= \frac{1}{\sqrt{\frac{8}{45}}}(x^2-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

Stimmt, hab beim normieren den konstanten Term vergessen

Welchen Vektor nehme ich jetzt für die Projektion mit $\begin{eqnarray*} p_4 \end{eqnarray*}$ von der b)

26.09.2019, 17:40

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Es ist $\begin{eqnarray*} p_4=\sum_{i=1}^4 <p_4,\tilde w_i>\tilde w_i \end{eqnarray*}$ . Die drei ersten Summanden ergeben zusammen die gesuchte Projektion.
Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 <p_4,\tilde w_i>\tilde w_i =p_4- <p_4,\tilde w_4>\tilde w_4 \end{eqnarray*}$ sieht man, dass man gar nicht die ganze ONB braucht sondern $\begin{eqnarray*} \tilde w_4 \end{eqnarray*}$ reicht und das bekommt man einfacher über ein LGS wie ich geschrieben habe

26.09.2019, 19:52

lexwin

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Also $\begin{eqnarray*} w_1...w_3 \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja kommt bei mir als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}x \end{eqnarray*}$ (Bei $\begin{eqnarray*} w_1...w_4 \end{eqnarray*}$ kommt $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{2}+\frac{3}{10}x \end{eqnarray*}$ raus).
Ist die Form so korrekt oder soll man das als Vektor $\begin{eqnarray*} p_{4_{P2}} = \frac{3}{5}\begin{pmatrix}0 1 0 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hatte auch eine Formel in der Form $\begin{eqnarray*} w_4 = x^3 - \frac{\int_{-1}^{1}x^3*x^2}{\int_{-1}^{1}x^2*x^2}x^2 - \frac{\int_{-1}^{1}x^3*x}{\int_{-1}^{1}x*x}x - \frac{\int_{-1}^{1}x^3*1}{\int_{-1}^{1}1*1}*1 \end{eqnarray*}$
Würde das in diesem Fall auch funktionieren da nicht nach einer Orthonormalbasis gefragt wird?

Vielen Dank schonmal bei der Hilfe

26.09.2019, 20:42

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Zitat:

Original von lexwin
Also $\begin{eqnarray*} w_1...w_3 \end{eqnarray*}$ ?

Ich verstehe die Frage nicht verwirrt

Du brauchst ausschließlich den Vektor $\begin{eqnarray*} w_4 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \tilde w_4 \end{eqnarray*}$ , die übrigen werden nicht benötigt - auch nicht, um $\begin{eqnarray*} w_4 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}x \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Zitat:

(Bei $\begin{eqnarray*} w_1...w_4 \end{eqnarray*}$ kommt $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{2}+\frac{3}{10}x \end{eqnarray*}$ raus).

Das muss falsch sein, weil das kein Element von $\begin{eqnarray*} \cal{P}_2 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Ich hatte auch eine Formel in der Form $\begin{eqnarray*} w_4 = x^3 - \frac{\int_{-1}^{1}x^3*x^2}{\int_{-1}^{1}x^2*x^2}x^2 - \frac{\int_{-1}^{1}x^3*x}{\int_{-1}^{1}x*x}x - \frac{\int_{-1}^{1}x^3*1}{\int_{-1}^{1}1*1}*1 \end{eqnarray*}$
Würde das in diesem Fall auch funktionieren da nicht nach einer Orthonormalbasis gefragt wird?

Wofür soll das funktionieren?

26.09.2019, 22:16

lexwin

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Um $\begin{eqnarray*} w_1...w_4 \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Das Ergebnis in diesem Fall ebenfalls $\begin{eqnarray*} x^3-\frac{3}{5}x \end{eqnarray*}$

26.09.2019, 23:17

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Das klappt hier zufällig.

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