Schwierigkeiten bei Berechnung der Fourierkoeffizienten von cos²

12.09.2019, 16:40

Mathe-Novize

Schwierigkeiten bei Berechnung der Fourierkoeffizienten von cos²

Meine Frage:
Guten Tag,

sitze nun schon eine Zeit lang an einer Aufgabe, die an sich nicht schwierig ist. Mein Problem besteht gerade darin, dass ich nicht sehen kann, wo ich in meiner Rechnung evtl. eine falsche Termumformung oder ähnliches mache, da ich immer nur ein Ergebnis erhalte, was der richtigen Lösung ähnlich sieht. Aber es ist diese eben nicht ganz. Ich wäre dankbar, wenn mal jemand prüfend drüberschauen würde und mich vielleicht auf meinen Fehler hinweist, sodass ich heute Abend ruhig schlafen kann smile

Zur Aufgabe:
Bestimmt werden sollen die komplexen Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ der Funktion
$\begin{eqnarray*} x(t)=\text{rep}_T(\tilde{x}(t))\;,\qquad \text{mit}\quad \tilde{x}=\left\{\begin{array}{cll} \cos^2(\Omega t) & \text{für} & |t|\le\frac{T}{4}\\ 0 & \text{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \text{rep}_T \end{eqnarray*}$ der in meinem Skript definierte Wiederholungsoperator ist, der die übergebene Funktion einfach mit der Periode $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ wiederholt.

Die der Aufgabe beigefügte Lösung lautet:
$\begin{eqnarray*} X_n=\left\{\begin{array}{cll} \frac18 & \text{für} & n=\pm2 \\ 0 & \text{für} & n\in\left\{k\,|\,k \text{ gerade}\right\}\!\setminus\!\{\pm2\} \\ \frac{2}{\pi n (4-n^2)} & \text{für} & n\in\{\dots,-7,-3,1,5,\dots\} \\ \frac{-2}{\pi n (4-n^2)} & \text{für} & n\in\{\dots,-5,-1,3,7,\dots\} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Rechnung habe ich als Scan beigefügt, weil mir das Abschreiben in LaTeX zu müßig war. Ich hoffe meine Handschrift bereitet keine Probleme. Sollte es doch bei der Entschlüsselung Probleme geben, helfe ich natürlich gerne smile

Meine Rechnung unten für den 1. Fall steht nur dort, damit man sieht, dass ich es zumindest versucht habe aufzulösen. Mir war aber bereits vor der Behandlung dieses Falls deutlich, dass nicht das richtige rauskommen wird. Ich bin aber leider vor lauter $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ 's und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ 's mittlerweile blind für meinen Fehler.

12.09.2019, 17:05

HAL 9000

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(1) ist Ok, da nutzt du Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ . Aber bereits beim Übergang zu Zeile (2) bin ich irritiert:

Anscheinend willst du ja $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{-ix}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=2\Omega t \end{eqnarray*}$ nutzen, aber irgendwie sieht es so aus, als wäre der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ "verschwunden" ? M.E. müsste also (2) lauten

$\begin{eqnarray*} (2) = \frac{1}{{\color{red}4}T} \int\limits_{-\frac{T}{4}}^{\frac{T}{4}} \left( {\color{red}2}e^{-jn\Omega t} + e^{j2\Omega t-jn\Omega t} + e^{-j2\Omega t-jn\Omega t} \right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Die weiteren Schritte habe ich deswegen noch nicht angeschaut.

Zitat:

Original von Mathe-Novize
Meine Rechnung habe ich als Scan beigefügt, weil mir das Abschreiben in LaTeX zu müßig war.

Anmerkung dazu: Wenn du die ellenlangen Formeln selbst in LaTeX setzt, dann ersparst du einem Antwortwilligen (wie mir) schon mal einen Haufen Tipparbeit, weil er die Formel per Copy+Paste übernehmen kann und nur die wenigen Fehler korrigieren muss. So musste ich die ganze Formel eintippen, was ich diesmal noch gemacht habe. Man muss sich auch immer überlegen: Wer will was von wem, d.h., wie kann ich es dem Helfer erleichtern und schmackhaft machen, zügig zu antworten... smile

P.S.: Nicht dass es verboten ist, die Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zu nennen, aber ist nicht $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wesentlich üblicher? verwirrt

12.09.2019, 17:32

Mathe-Novize

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Zitat:

Original von HAL 9000
Anscheinend willst du ja $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{-ix}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=2\Omega t \end{eqnarray*}$ nutzen, aber irgendwie sieht es so aus, als wäre der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ "verschwunden" ?

Aber natüüüüüürlich Hammer

Ich wusste doch, dass mir irgendwo soetwas durch die Lappen gegangen sein muss, aber ich habe es selbst nicht mehr gesehen, weil ich schon zu blind war Forum Kloppe

Also nochmal ran an den Speck...

Zitat:

Original von HAL 9000
Anmerkung dazu: Wenn du die ellenlangen Formeln selbst in LaTeX setzt, dann ersparst du einem Antwortwilligen (wie mir) schon mal einen Haufen Tipparbeit, weil er die Formel per Copy+Paste übernehmen kann und nur die wenigen Fehler korrigieren muss. So musste ich die ganze Formel eintippen, was ich diesmal noch gemacht habe. Man muss sich auch immer überlegen: Wer will was von wem, d.h., wie kann ich es dem Helfer erleichtern und schmackhaft machen, zügig zu antworten... smile

Das sollte gar nicht arrogant rüberkommen, ich war nur schon tierisch verzweifelt und brauchte akute Hilfe. Ich tippe sonst auch alles in $\begin{eqnarray*} \LaTeX \end{eqnarray*}$ runter, aus genau diesem Grund, aber in diesem Fall habe ich fix darauf verzichtet, weil ich dringend jemanden brauchte, der meinen Wahnsinn beendet. Ich kann aber deinen Einwand sehr gut verstehen Lehrer

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Nicht dass es verboten ist, die Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zu nennen, aber ist nicht $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wesentlich üblicher? verwirrt

Sehe ich auch so, ich finde schon alleine das $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ leichter zu schreiben Big Laugh

, aber in meinem Signaltheorie-Skript verwendet der Prof nunmal das große und damit ich mich da nicht noch unnötig durcheinander bringe, verwende ich bei seinen Aufgaben eben das $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Danke schon mal für deine Hilfe. Sollte ich mich nicht mehr melden, so habe ich wohl alle Faktoren wieder eingesammelt Big Laugh

12.09.2019, 17:41

HAL 9000

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Ein nicht unwesentliches $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ vermisse ich übrigens in deiner Auflistung oben: Den Gleichanteil $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ .

Den deiner zweiten Zeile $\begin{eqnarray*} X_n=0 \end{eqnarray*}$ zuzuordnen, wäre falsch, denn tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} X_0 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

13.09.2019, 20:38

Mathe-Novize

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein nicht unwesentliches $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ vermisse ich übrigens in deiner Auflistung oben: Den Gleichanteil $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ .

Den deiner zweiten Zeile $\begin{eqnarray*} X_n=0 \end{eqnarray*}$ zuzuordnen, wäre falsch, denn tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} X_0 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du selbstverständlich Recht, das ergibt sich ja schon aus dem Graphen der Funktion. Die Lösung stammt vom Aufgabenblatt meines Profs, da muss er oder ein Mitarbeiter sich wohl vertan haben.

Ich dokumentier mal an dieser Stelle meine Rechnung, in der Hoffnung, dass diese anderen Studenten in machen Punkten vielleicht hilfreich sein kann.

Zunächst also erst einmal die Berechnung des lästigen Integrals:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccl} \hphantom{\Rightarrow} & X_n & = & \frac{1}{T} \displaystyle\int\limits_{-T/4}^{T/4} \!\cos^2(\Omega t)\, e^{-jn\Omega t} \,dt \\[-10pt] \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{2T} \displaystyle\int\limits_{-T/4}^{T/4} \!\left(1+\frac{1}{2} \Big( e^{j2\Omega t}+e^{-j2\Omega t} \Big)\right) e^{-jn\Omega t} \,dt \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{2T} \displaystyle\int\limits_{-T/4}^{T/4} \!e^{-jn\Omega t} + \frac{1}{2}\left( e^{j(2-n)\Omega t}+e^{-j(2+n)\Omega t} \right) \,dt \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{2T} \Bigg[ -\frac{1}{jn\Omega} \left[e^{-jn\Omega t}\right]_{\frac{-T}{4}}^{\frac{T}{4}} + \frac12\left( \frac{1}{j(2-n)\Omega}\big[e^{j(2-n)\Omega t}\big]_{\frac{-T}{4}}^{\frac{T}{4}} - \frac{1}{j(2+n)\Omega}\big[e^{-j(2+n)\Omega t}\big]_{\frac{-T}{4}}^{\frac{T}{4}} \right) \Bigg] \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{2T} \Bigg[ -\frac{1}{jn\Omega} \left(e^{-jn\frac{\pi}{2}}-e^{jn\frac{\pi}{2}}\right) + \frac12\bigg( \frac{1}{j(2-n)\Omega} \left(e^{j(2-n)\frac{\pi}{2}}-e^{-j(2-n)\frac{\pi}{2}}\right) -\frac{1}{j(2+n)\Omega} \left(e^{-j(2+n)\frac{\pi}{2}}-e^{j(2+n)\frac{\pi}{2}}\right) \bigg) \Bigg]\end{array} \end{eqnarray*}$

Hier können wir nun noch ein bisschen zusammenfassen und Brüche auf einen gleichen Nenner bringen, aber vor allem können wir die letzte Zeile mit der wichtigen Identität $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \frac{1}{2j}\left(e^{jx}-e^{-jx}\right) \end{eqnarray*}$ deutlich vereinfachen. Das führt uns dann zu
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccl} \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{2T} \Bigg[ \frac{2}{n\Omega}\sin\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \frac{1}{(4-n^2)\Omega} \bigg( (2+n)\sin\left(\pi-n\frac{\pi}{2}\right) + (2-n)\sin\left(\pi+n\frac{\pi}{2}\right) \bigg) \Bigg] & \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{4\,\pi\,n\,(4-n^2)} \Bigg( 2(4-n^2)\sin\left(\frac{\pi}{2}n\right) + n\,\bigg( (2+n)\sin\left(\pi-\frac{\pi}{2}n\right) + (2-n)\sin\left(\pi+\frac{\pi}{2}n\right) \bigg) \Bigg) & \qquad\quad (\ast) \end{array} \end{eqnarray*}$

An diesem Punkt sind wir fertig und müssen nun ein paar Fälle unterscheiden. Am Faktor vor der Klammer können wir bereits sehen, dass wir Probleme kriegen würden, wenn wird dort versuchen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pm2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen, da wir dann durch Null dividieren. Also müssen wir diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dort einsetzen, wo wir das noch problemlos dürfen, nämlich bevor wir das bestimmte Integral auswerten. Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ geht das sehr schnell, da dies zu der einfachen Berechnung von $\begin{eqnarray*} \frac1T\int\limits_{-T/4}^{T/4}\cos^2(\Omega t) dt \end{eqnarray*}$ führt, was uns $\begin{eqnarray*} X_0 = \frac14 \end{eqnarray*}$ bringt, wie HAL 9000 bereits richtig angemerkt hat.

Auch die Fälle für $\begin{eqnarray*} n=\pm2 \end{eqnarray*}$ sind schnell abgehandelt. Zunächst für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccl} \hphantom{\Rightarrow} & X_2 & = & \frac{1}{2T} \displaystyle\int\limits_{-T/4}^{T/4}e^{-j2\Omega t} + \frac12 \left( e^{j(2-2)\Omega t} + e^{-j(2+2)\Omega t} \right) \,dt \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & \stackrel{a^0=1}{=} & \frac{1}{2T} \displaystyle\int\limits_{-T/4}^{T/4}e^{-j2\Omega t} + \frac12 \left( 1 + e^{-j4\Omega t} \right) \,dt \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & \cdots & \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{2T}\big( \frac{1}{\Omega}\overbrace{\sin(\pi)}^0 + \frac{T}{4} + \frac{1}{4\Omega}\overbrace{\sin(2\pi)}^0 \big) \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac18 \end{array} \end{eqnarray*}$

Die explizite Berechnung von $\begin{eqnarray*} X_{-2} \end{eqnarray*}$ können wir uns sparen, da es bei reellwertigen Funktionen eine praktische Eigenschaft bezüglich der komplexen Fourierkoeffizienten gibt. So gilt nämlich für gerade Funktionen $\begin{eqnarray*} X_n = X_{-n} \end{eqnarray*}$ und für ungerade $\begin{eqnarray*} X_n = -X_{-n} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} \cos^2 \end{eqnarray*}$ als gerade Funktion wissen wir also sofort, dass $\begin{eqnarray*} X_2 = X_{-2} \end{eqnarray*}$ ist.

Bleibt jetzt noch der Rest der natürlichen Zahlen. Auch da gibt es aufgrund der Sinusterme in $\begin{eqnarray*} (\ast) \end{eqnarray*}$ zwei Fälle zu unterscheiden. Man kann diese zwar im Kopf durchgehen und separieren, ich lege mir für sowas aber gerne mal auf einem Schmierblatt schnell eine kleine Tabelle an, damit ich da nicht durcheinander komme. Diese könnte so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \boldsymbol{n} & \mathbf{\dots} & \textcolor{red}{\mathbf{-5}} & \mathbf{-4} & \textcolor{blue}{\mathbf{-3}} & \mathbf{-2} & \textcolor{red}{\mathbf{-1}} & \mathbf{0} & \textcolor{blue}{\mathbf{1}} & \mathbf{2} & \textcolor{red}{\mathbf{3}} & \mathbf{4} & \textcolor{blue}{\mathbf{5}} & \mathbf{\dots} \\\hline \boldsymbol{\sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)} & \ldots & \textcolor{red}{-1} & 0 & \textcolor{blue}{1} & 0 & \textcolor{red}{-1} & 0 & \textcolor{blue}{1} & 0 & \textcolor{red}{-1} & 0 & \textcolor{blue}{1} & \ldots \\\hline \boldsymbol{\sin\left(\pi+\frac{\pi}{2}n\right)} & \ldots & \textcolor{red}{1} & 0 & \textcolor{blue}{-1} & 0 & \textcolor{red}{1} & 0 & \textcolor{blue}{-1} & 0 & \textcolor{red}{1} & 0 & \textcolor{blue}{-1} & \ldots \\\hline \boldsymbol{\sin\left(\pi-\frac{\pi}{2}n\right)} & \ldots & \textcolor{red}{-1} & 0 & \textcolor{blue}{1} & 0 & \textcolor{red}{-1} & 0 & \textcolor{blue}{1} & 0 & \textcolor{red}{-1} & 0 & \textcolor{blue}{1} & \ldots \end{array} \end{eqnarray*}$

Hier erkennt man wieder zwei Fälle, einmal für $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{n\in\{\dots,-7,-3,1,5,\dots\}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{n\in\{\dots,-5,-1,3,7,\dots\}} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist der eine Fall wieder genau der andere mit umgekehrten Vorzeichen, also gilt auch hier wieder $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{X_n} = \textcolor{red}{X_{-n}} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{X_n} \end{eqnarray*}$ geht es also weiter:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccl} \hphantom{\Rightarrow} & \textcolor{blue}{X_n} & = & \frac{1}{4\,\pi\,n\,(4-n^2)} \left( 2(4-n^2) + n(2+n-2+n) \right) \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{1}{4\,\pi\,n\,(4-n^2)} \left(2(4-n^2) + 2n^2\right) \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{2}{\pi\,n\,(4-n^2)} \\ \Rightarrow & \textcolor{red}{X_{-n}} & = & \frac{2}{\pi\,(\textcolor{red}{\mathbf{-n}})\,(4-(\textcolor{red}{\mathbf{-n}})^2)} \\ \hphantom{\Rightarrow} & \hphantom{X_n} & = & \frac{-2}{\pi\,n\,(4-n^2)} \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Zusammenfassend erhalten wir für die Fourierkoeffizienten:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} \hphantom{\Rightarrow} & X_n & = & \left\{ \begin{array}{cl} \frac14 & \text{für } n=0 \\ \frac18 & \text{für } n=\pm2 \\ \frac{2}{\pi\,n\,(4-n^2)} & \text{für } n=\{\dots,-7,-3,1,5,\dots\} \\ \frac{-2}{\pi\,n\,(4-n^2)} & \text{für } n=\{\dots,-5,-1,3,7,\dots\} \\ 0 & \text{sonst} \end{array} \right. \end{array} \end{eqnarray*}$

Amen.

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