Beweis: 4-Vektoren bilden Basis von R^2x2

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matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: 4-Vektoren bilden Basis von R^2x2
Hallo zusammen,

ich nochmal mit folgender Aufgabe:
[attach]49679[/attach]

a)

Um zu beweisen, dass die gegebenen Vektoren aus 2x2 Matrizen (A, B, C, D) eine Basis bilden, muss ich nachweisen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, also der Nullvektor nur trivial kombinierbar ist:

a * A + b * B + c * C + d * D = 0 (€ R^2x2)

Den Nachweis habe ich mir dann auf die einzelnen Komponenten der Matrizen aufgeteilt, also:

x1 = a * a11 + b * b11 + c * c11 + d * d11
x2 = a * a12 + b * b12 + c * c12 + d * d12
...

Daraus erhalte ich folgendes Gleichungssystem, welches ich direkt als erweiterte Koeffizientenmatrix dargestellt habe:



Behandelt mit Gauß erhalte ich die obere Dreiecksmatrix



Daraus kann ich dann schließen:
d = c = b = a = 0 ==> linear unabhängig

Soweit korrekt?

b)

Hier wäre mein Ansatz nun wieder Gauß zu verwenden in folgender Form:


Ist das okay, oder geht das einfacher? Mit bloßem hinsehen erkenne ich leider keine passende Linearkombination, so dass

a * A + b * B + c * C + d * D = (1, 1, 0, 1)^T

ergibt.

d)

Hier habe ich mich noch nicht zu informiert.
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RE: Beweis: 4-Vektoren bilden Basis von R^2x2
Wenn du lineare Unabhängigkeit nachweisen und dann noch einen Vektor als Linearkombination darstellen sollst, hätte es sich angeboten, direkt mit dem Gleichungssystem zu arbeiten, wobei A deine Koeffizientenmatrix ist und eine allgemeine rechte Seite ist.
Dann hättest du aus der allgemeinen Lösung direkt die beiden Spezialfälle und ablesen können.
So musst du eben nochmal ran.
 
 
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 4-Vektoren bilden Basis von R^2x2
Zitat:
Original von URL
Wenn du lineare Unabhängigkeit nachweisen und dann noch einen Vektor als Linearkombination darstellen sollst, hätte es sich angeboten, direkt mit dem Gleichungssystem zu arbeiten, wobei A deine Koeffizientenmatrix ist und eine allgemeine rechte Seite ist.


Stimmt, guter Tipp!

Habe mich jetzt mal Aufgabenteil c) zugewendet und gelesen, dass man hierfür beide Basen als Matrix nebeneinander darstellen und dann auf die rechte Seite wieder Gauß anwenden soll wobei man die einzelnen Transformationen jeweils auch bei der linken Matrix durchführt (auch hier lohnt es sich natürlich, wenn man in Teil a)/b) die Schritte beim Gauß ordentlich notiert hat):



Hierbei erhalte ich die Matrix:



... welche zur Kontrolle bei Multiplikation mit auch korrekt ergibt (gleicher Koordinatenvektor wie im Aufgabenteil b)).

Ich denke damit ist die Aufgabe gelöst Tanzen
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RE: Beweis: 4-Vektoren bilden Basis von R^2x2
Dieser Teil hätte sich wie oben angemerkt lösen lassen, diesmal mit den Spezialfällen
Abgesehen davon komme ich bei Aufgabe (b) auf die Lösung
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 4-Vektoren bilden Basis von R^2x2
Ich habe auf deinen Rat hin das Gleichungssystem mal in der generischen Variante durch-ge-gaußt und komme dabei auf:




wobei a = b1, b = b2, c = b3, ...

Dann die Werte 1 1 0 1 eingesetzt ergibt bei mir (vorher habe ich wohl tatsächlich einen Fehler gemacht):



Mit den Basisvektoren des R4 erhalte ich zudem die selbe Matrix wie zuvor angegeben. Das deckt sich mit deinem Ergebnis von Teil b) smile
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