Differentialrechnung Preissteigerung |
| 12.09.2019, 18:48 | ONISAGA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Differentialrechnung Preissteigerung Es geht um folgende Aufgabenstellung x(p)= p^4+exp(p) Nach einer Preissteigerung, ausgehend von einem Preis von p=3.31, steigt die angebotene Menge um ungefähr 72.2 Mengeneinheiten. Wie hoch war die Preissteigerung? Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Differentials! Also das erste was ich versucht habe ist die Gleichung umzuformen und mit einsetzten zu lösen,weil es mir am einfachsten erschien. Aber beim umformen der Funktion bin ich schnell an meine Grenzen gekommen und nach mehren Anläufen und nachrecherchieren bin ich zum Entschluss gekommen, dass es nicht möglich ist diese Funktion nach x aufzulösen. Wie man diese Aufgabe mit Hilfe des Differentials löst ist mir selbst nach Einsicht der Lösungen nicht erklärbar. Hier die Lösung Lösung exemplarisch für einen Startpreis von p=2 und eine Steigerung der Menge um 19,7: Angebotsfunktion: x(p)=p^4+exp(p) Ableitung: x1(p)=4p^3+exp(p) dx(2)=(4*2^3+exp(2))*dp =39,389*dp=!19,7 dp=0,5001 Die Preisänderung beträgt ungefähr 0,50 Geldeinheiten. Also zuersteinmal wieso wird die Funktion abgeleitet, weil dies gibt mir doch nur die Steigungsfunktion an. Nun meine zweite Frage wieso wird die Funktion mit einem dp erweitert.In meinen Augen macht es ja nicht viel Sinn weil, dass heißen müsste dass die Funktion linear skaliert oder nicht? Weil dies ist ja bei einer e funktion nicht der fall. Als ich dann die Werte für p=2 in die Angebotsfunktion eingeben habe bekam ich eine Menge von 23,389, wenn ich jedoch einen preis von 2,5 eingebe bekomme ich eine Menge von 51,2449 dies ist aber eine Steigerung der Menge von 27.359. Wäre jemand bereit mir die Aufgabe mit der Lösung genauer zu erklären, sodass ich das verinnerlichen kann. Mit freundlichen Grüßen Onisage |
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| 12.09.2019, 19:11 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differentialrechnung Preissteigerung
bedeutet doch gerade, dass du nur die linearisierte Änderung betrachten sollst. Für ist die linearisierte Änderung an der Stelle eben . Einsetzen deiner Beispielwerte liefert dann . Auflösen nach der Preisänderung dp, fertig. Die reale Änderung wurde also mit der linearisierten Änderung gleich gesetzt. Das ist eine Näherung, die mehr oder weniger brauchbar ist, aber die Rechnung jedenfalls deutlich vereinfacht. Daraus bekommt man dann natürlich nur eine Näherung für die Preisänderung und das wiederum erklärt die von dir beobachtete Abweichung, wenn du 2.5 einsetzt. |
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| 12.09.2019, 20:23 | ONISAGA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Nun macht dieser Teil der Rechnung mehr Sinn für mich. Also geht man dann quasi von aus das ab dem Punkt x(p) die Gleichung mit einer konstanten Steigung weiterläuft. Das man das bei sehr kleine Differenzen machen kann, wusste ich. Aber egal nächstes mal muss ich genauer lesen. Jedoch stellt sich mir nun eine ganz andere Frage. Und zwar geht es um die Bedeutung der Werte in der Funktion. Muss ich unter dx(p)= 4p^3*e^p*dp= 39,38*dp=19,7 nicht die Ableitung x(p) verstehen sondern den Preiszuschalg, also p2-p1. Außerdem noch eine andere Frage. Der Funktionsgraph hat ja beim Preis von 2 eine Steigung von 39,38. Nun geh ich davon aus, dass ab dem Punkt 39,38 der Funktionsgraph mit einer konstanten Steigung weiter läuft. Kann ich mir das bildlich nun so vorstellen, dass wir den y1 Wert 39,38 zum Nullpunkt hin verschieben und unser y2 Wert dadurch 19,7 ist. Die x-Werte laufen dann bis ins unendliche mit einer konst. Steigung von 39,38 weiter. |
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| 12.09.2019, 22:46 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann immer von einem Punkt des Graphen mit konstanter Steigung weiterlaufen. Es ist eben die Frage, wie weit man sich damit vom Graphen entfernt.
Nein, der Preiszuschlag ist dp. dx ist die linearisierte Änderung der Menge, wenn sich der Preis um dp ändert. Zur Vorstellung des Ganzen: Zeichne dir den Graphen von x(p) (oder für jetzt irgendeinen Graphen 
)Markiere einen Punkt auf dem Graphen. Zeichne die Tangente an den Graphen im Punkt Setz die gedanklich in den Punkt und gehe von dort dp nach rechts und dann senkrecht, bis du die Tangente triffst. Die Länge dieses Schrittes nennst du dx. Dann ist (Steigungsdreieck!) . also Hier ist die Situation gewissermaßen umgekehrt. Du kennst die Mengensteigerung (19,7) bei unbekannter Preissteigerung dp. Jetzt nimmst du an, 19,7 wäre die linearisierte Mengenänderung, also dx=19,7. Am Graphen würdest du ausgehend von jetzt dx nach oben gehen und dann horitonatal, bis du die Tangente triffst. Die Länge dieses Schrittes ist dann dp. Die Vorstellung den Punkt in den Ursprung zu verschieben ist richtig. Allerdings geht es dann bei dir mit Steigung und Koordinaten und der Zahl 39.38 durcheinander. Bei der Linearisierung vergisst man gewissermaßen den Graphen, betrachtet nur noch die Tangente und springt dann horizontal und vertikal, wie ich es oben beschrieben habe. |
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