Urbild offener Mengen, Stetigkeit

12.09.2019, 20:33	Mathenovize2	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbild offener Mengen, Stetigkeit Hallo, Es gibt die Aussage, dass eine Funktion stetig ist, wenn das Urbild jeder offene Menge wieder offen ist. Ich habe aber keine Ahnung wie man das auf konkrete Funktionen anwenden soll und finde dazu auch wenig im Internet. Nehmen mir mal als Beispiel eine Funktion die im Intervall (-unendlich,0] durch f(x)=x und im Intervall (0, unendlich) durch f(x)=x+1 beschrieben wird. Diese Funktion ist offensichtlich an der Stelle x=0 nicht stetig, aber wie zeige ich das mit der obigen Aussage? es muss ja dann möglich sein eine offene Teilmenge der Zielmenge zu wählen, so dass die entsprechende Urbildmenge nicht offen ist, aber das gelingt mir nicht.
12.09.2019, 21:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urbild offener Mengen, Stetigkeit Betrachte das Urbild des Intervalles (-1/2,1/2)
12.09.2019, 21:50	Mathenovize2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urbild offener Mengen, Stetigkeit Aber die Werte aus dem Intervall (-1/2, 1/2) sind doch gar nicht alle in der Zielmenge enthalten. Die Zielmenge besteht doch aus den Intervallen (-unendlich, 0] und (1, unendlich)
12.09.2019, 22:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urbild offener Mengen, Stetigkeit Ah, ich dachte, du willst eine reelle Funktion betrachten, also $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann sind wir fertig, weil (-1/2,1/2) eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist. Wenn du stattdessen $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ betrachten willst, dann nimm das Urbild von $\begin{eqnarray} M:=(-1/2,0]=(-1/2,1/2]\cap f(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . M ist also offen in der Spurtopologie.

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