Integration durch Substitution

13.09.2019, 13:30

Mathman91

Integration durch Substitution

Hallo zusammen,

ich habe gerade ein Beispiel gerechnet, wo man die Substitution beim Integral anwendet.

Das Beispiel lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{4x+2}dx \end{eqnarray*}$

Meine Lösung sieht folgendermaßen aus:

Als erstes Substituiere ich: $\begin{eqnarray*} u=4x+2 \end{eqnarray*}$

Umstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=4x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=dx*4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{4} = dx = \frac{1}{4}*du \end{eqnarray*}$

Einsetzen in das Integral:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int\! \sqrt{u}*\frac{1}{4}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4}\int\!u^{\frac{1}{2}}du \end{eqnarray*}$

Integrieren:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4}*\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \end{eqnarray*}$

Doppelt Bruch aufgelöst ergibt bei mir: $\begin{eqnarray*} \frac{6u^{2}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4}*\frac{6u^{2}}{3} \end{eqnarray*}$

nach dem kürzen kommt bei mir folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{3*(4x+2)^{2}}{6} \end{eqnarray*}$

Lösung von der Webseite lautet aber: $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{6}*\sqrt{(4x+2)^{3}} \end{eqnarray*}$

13.09.2019, 13:55

Bürgi

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RE: Integration durch Substitution
Guten Tag,

Dein Rechenfehler liegt hier:

$\begin{eqnarray*} \frac12 + 1 = \frac32 \ne 2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \frac32 = 6 \end{eqnarray*}$

13.09.2019, 14:59

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=4x+2 \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=4 \end{eqnarray*}$

14.09.2019, 16:42

Mathman91

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Ich verstehe nicht, was bei: $\begin{eqnarray*} \frac12 + 1 = \frac32 \end{eqnarray*}$ falsch sein soll?

14.09.2019, 17:23

Nubler

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RE: Integration durch Substitution
die entsprechende stelle bei dir:

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4}*\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \end{eqnarray*}$
Doppelt Bruch aufgelöst ergibt bei mir: $\begin{eqnarray*} \frac{6u^{2}}{3} \end{eqnarray*}$

15.09.2019, 14:28

Mathman91

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Jetzt hab ich Verstanden, was ich falsch gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4}*\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

ist ja:

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{u^{3}} \end{eqnarray*}$

Der Doppelbruch lautet nun:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*\frac{\frac{\sqrt{u^{3}}}{1}}{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*\sqrt{u^{3}}}{12} \end{eqnarray*}$

Nach dem kürzen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{\sqrt{(4x+2)^{3}}}{6} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte es passen?

Doppelbruch anschreiben, muss nicht sein. Ich habs jetzt mal gemacht.

SG

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