Fläche eines 4ecks im 3eck

13.09.2019, 14:25

riwe

Fläche eines 4ecks im 3eck

ich versuche es halt auch einmal mit einem kleinen Problemchen:

das 3eck ABC ist gleichseitig mit der Seite s.
Berechne die Fläche des 4ecks BDEF NUR mit Pythagoras, also ohne Winkelfunktionen zu verwenden.

edit: das hübsche Ergebnis sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{s^2}{8} \end{eqnarray*}$

14.09.2019, 13:35

klauss

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RE: Fläche eines 4ecks im 3eck
Mit Pythagoras läßt sich leicht die gesamte gelbe Fläche $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{s^{2}}{8}\left(3-\sqrt{3} \right) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.
Danach ist es zu verlockend, den Tangens auf die Teilfläche $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ anzuwenden und damit das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{s^{2} }{8} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu bestätigen.
Ich suche gelegentlich weiter nach einem zweiten Weg ohne Winkelfunktion ...

14.09.2019, 14:28

Leopold

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$\begin{align*} AF \end{align*}$ ist eine Höhe (Symmetrieachse) im gleichseitigen Dreieck und halbiert folglich $\begin{align*} BC \end{align*}$ . Ferner ist $\begin{align*} AEC \end{align*}$ gleichschenklig, wie man mittels Winkelbetrachtungen feststellt. Mit diesen Informationen kommt man ans Ziel.

14.09.2019, 16:08

rumar

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RE: Fläche eines 4ecks im 3eck
Durch Betrachtung der Winkel (mittels Winkelsummen etc. -
das sollte wohl nebst Pythagoras auch zugelassen sein)
kann man erkennen, dass das Dreieck AEC gleichschenklig
sein muss, also |AE| = s .
Mit h bezeichne ich die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABC.
Dann können wir etwa den Flächeninhalt des Dreiecks ADE betrachten:

F(ADE) = X + F(ABF) = F(ABF) * (|AE|/|AF|) * (|AD|/|AB|)

Nun kann man einsetzen:

F(ABF) = s*h/4 ; |AE| = s ; |AF| = h ; |AB| = s ; |AD| = h+s/2

Die obige Gleichung vereinfacht sich damit zu $\begin{eqnarray*} \qquad X\ =\ \frac{s^2}{8} \end{eqnarray*}$

(Jetzt stelle ich fest, dass ich nicht einmal Pythagoras erwähnt
habe, der aber hinter den Kulissen schon auch mitgespielt hat ...)

14.09.2019, 17:33

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} AF \end{align*}$ ist eine Höhe (Symmetrieachse) im gleichseitigen Dreieck und halbiert folglich $\begin{align*} BC \end{align*}$ . Ferner ist $\begin{align*} AEC \end{align*}$ gleichschenklig, wie man mittels Winkelbetrachtungen feststellt. Mit diesen Informationen kommt man ans Ziel.

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