Fouriertransformation

13.09.2019, 17:52

four111

Fouriertransformation

Ich will die Fouriertransformierte von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{3+2x+x^2} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Unsere Definition:
$\begin{eqnarray*} \hat f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-itx}dt \end{eqnarray*}$

Ich weiß dass für $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \hat g(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ (ich hoffe zumindest das stimmt so, bin mir bei dem Faktor nicht ganz sicher)

Wir haben $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{(x+1)^2+2}=\frac{2}{(\frac{x+1}{\sqrt{2}})^2+1} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \hat f(x)=2 \hat g(\frac{x+1}{\sqrt 2}) \end{eqnarray*}$

Bis hier hin sollte alles stimmen, aber irgendwo hier ist ein Fehler denke ich:

$\begin{eqnarray*} \hat g(\frac{x+1}{\sqrt 2})=\sqrt 2 \frac{1}{\sqrt 2} \hat g(\frac{x+1}{\sqrt 2})=\sqrt 2 \hat g(x+1)=\sqrt 2 \hat g(x)e^{ix}=\sqrt 2 e^{ix}\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-|x|} \end{eqnarray*}$

Ich habe dabei diese Regeln verwenden: Die Bezeichnungen f und g sind jetzt wieder allgemein, also nicht das f und g von oben!

2. Gleichheit $\begin{eqnarray*} g(t)= |r|f(rt) \Rightarrow \hat g(x)=\hat f(x/r) \end{eqnarray*}$ . 4. Gleichheit: $\begin{eqnarray*} f_s(t):=f(t+s) \Rightarrow \hat f_s(x)=\exp(its)\hat f(x) \end{eqnarray*}$

13.09.2019, 19:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von four111
2. Gleichheit $\begin{eqnarray*} g(t)= |r|f(rt) \Rightarrow \hat g(x)=\hat f(x/r) \end{eqnarray*}$ . 4. Gleichheit: $\begin{eqnarray*} f_s(t):=f(t+s) \Rightarrow \hat f_s(x)=\exp(its)\hat f(x) \end{eqnarray*}$

Die beiden Regeln kombiniert (d.h. hintereinander ausgeführt) folgt für $\begin{eqnarray*} f(t) = c\cdot g(r(t+s)) \end{eqnarray*}$ die Transformierte $\begin{eqnarray*} \hat{f}(x) = \frac{c}{|r|} e^{ixs}\cdot \hat{g}\left(\frac{x}{r}\right) \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\sqrt{2}},s=1,c=2 \end{eqnarray*}$ angewandt auf $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} \hat{f}(x) = 2\sqrt{2} e^{ix} \hat{g}\left(\sqrt{2}x\right) = 2\sqrt{\pi} e^{ix-\sqrt{2}|x|} \end{eqnarray*}$ .

14.09.2019, 08:59

four111

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Danke!

Hättest du das bsp auch so gelöst? Oder gibts bessere Methoden für solche "Polynome"?

21.09.2019, 10:56

four111

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Habe noch eine Frage:

Welche Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ hat als Fouriertransformierte $\begin{eqnarray*} \hat f(x)= \frac{4x}{x^2+2x+3} \end{eqnarray*}$ .

(Beachte dass im Zähler ein x steht)

Also ich weiß ja dass es eine Fourier-inversion gibt, aber der Hinweise lautet:

Die Fouriertransformierte von $\begin{eqnarray*} e^{-|t|} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ also ich denke ich soll irgendwie damit arbeiten.

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