Transzendente Zahl

14.09.2019, 18:10

Elvis

Transzendente Zahl

Hat die über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ transzendente Zahl $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac 1 {2^{2^k}} \end{eqnarray*}$ einen Namen ? Wer hat sie erfunden ? Nach wem ist sie benannt ? Wozu kann man sie gebrauchen ? Wer weiß mehr darüber ?

14.09.2019, 19:21

willyengland

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Google: Fredholm Number
https://math.stackexchange.com/questions...-1-4-1-16-cdots

Als Anfänger würde ich gerne wissen: Was bedeutet das "über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ transzendent"?

14.09.2019, 19:52

jester.

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Zitat:

Original von willyengland
Als Anfänger würde ich gerne wissen: Was bedeutet das "über ℚ transzendent"?

Das bedeutet, dass diese Zahl nicht Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist.

Eine Zahl, die nicht transzendent ist, heißt algebraisch. Hier ein paar Beispiele algebraischer Zahlen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist algebraisch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist Nullstelle von $\begin{eqnarray*} X^2-2 \end{eqnarray*}$ .
Genauso ist die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , denn sie ist Nullstelle von $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$
Man kann außerdem zeigen, dass Summen und Produkte algebraischer Zahlen wieder algebraisch sind und so noch viel mehr Beispiele finden.

Nun war es hier gerade immer recht einfach, die Algebraizität einer Zahl darzulegen, indem man ein passendes Polynom angibt. Dagegen ist es schwieriger, die Transzendenz einer Zahl nachzuweisen - man müsste ja vereinfacht gesagt jedes mögliche Polynom durchtesten, was natürlich nicht geht und so auch nicht gemacht wird.
Deshalb hier nur die zwei vielleicht bekanntesten Beispiele: $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sind transzendent über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , die Beweise finden sich an vielen Stellen im Internet über Google.
Für viele mehr oder weniger bekannte Zahlen ist nicht bekannt, ob sie transzendent sind oder nicht. Die Frage ist beispielsweise, so weit ich weiß, für $\begin{eqnarray*} \zeta(3) \end{eqnarray*}$ (Riemannsche Zeta-Funktion) bis heute unbeantwortet.

14.09.2019, 19:55

Elvis

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Eine algebraische Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ der rationalen Zahlen genügt einer algebraischen Gleichung, das ist eine Polynomgleichung $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \end{eqnarray*}$ mit rationalen Koeffizienten und einer Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Eine Zahl heißt transzendent über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , wenn sie in einem Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} K<L \end{eqnarray*}$ liegt und keiner algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ genügt. Reelle Zahlen sind rational (Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ) oder irrational. Irrationale reelle Zahlen sind algebraisch (abzählbar viele) oder transzendent (überabzählbar viele) über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

15.09.2019, 08:35

willyengland

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Aha.
Heißt das, es gibt auch transzendente Zahlen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

15.09.2019, 08:57

Elvis

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Ob man das Zahlen nennen kann möchte ich bezweifeln. Es gibt transzendente Erweiterungskörper über jedem Körper. Über jedem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es algebraische Erweiterungskörper. Beliebte Beispiele sind Zahlkörper und Funktionenkörper.

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