Der unfaire Holzwürfel

16.09.2019, 09:47

Dopap

Der unfaire Holzwürfel

Eine kleine Geschichte muss immer sein:

Von 2 Häftlingen mit gemeinsamer Zelle kann aus technischen Gründen nur einer demnächst entfliehen.
Beide wollen das Auslosen, sind sich aber darin einig, dass nichts wie Streichholzziehen o.Ä. in Frage kommt.
Es muss ein sauberes Zufallsgerät her. Nur traut genau das keiner dem alten Holzspielwürfel aus der Spielesammlung zu.

Kann man diesen so verwenden, dass beide dieselbe Gewinnchance haben ?

Ich definiere $\begin{eqnarray*} X \,\text{mit} \,X=1 \end{eqnarray*}$ bei ungerader Augenzahl und $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ bei gerader Augenzahl.
Es wird grundsätzlich 2 mal gewürfelt und definiere $\begin{eqnarray*} Y=X+X \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} Y \in \{ 0;2\} \end{eqnarray*}$ wird wiederholt bis $\begin{eqnarray*} Y=1 \end{eqnarray*}$ erzielt wird.

Bei $\begin{eqnarray*} Y=(1,0)\, \text{gewinnt A, bei} \,Y=(0,1)\, \text{gewinnt B} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt sind die Wahrscheinlichkeiten gleich, da

$\begin{eqnarray*} P(Y=(1,0)) =P(Y=(0,1))= k(1-k) \,\text{gilt}\,\, , \,\, 0<P(X=1)=k<1 \end{eqnarray*}$ , also insbesondere dann wenn $\begin{eqnarray*} k \neq 1/2 \end{eqnarray*}$ .

Das Auswürfeln terminiert mit Wahrscheinlichkeit 1.

Ist das so richtig bzw. beschrieben/formuliert ?

16.09.2019, 11:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Es wird grundsätzlich 2 mal gewürfelt und definiere $\begin{eqnarray*} Y=X+X \end{eqnarray*}$ .

Hier meinst du wohl eigentlich $\begin{eqnarray*} Y=X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Und das hier

Zitat:

Original von Dopap
Bei $\begin{eqnarray*} Y=(1,0)\, \text{gewinnt A, bei} \,Y=(0,1)\, \text{gewinnt B} \end{eqnarray*}$ .

bedeutet in dem Kontext dann entsprechend "Bei $\begin{eqnarray*} (X_1,X_2)=(1,0)\, \text{gewinnt A, bei} \,(X_1,X_2)=(0,1)\, \text{gewinnt B} \end{eqnarray*}$ ."

Ansonsten bin ich einverstanden.

16.09.2019, 12:01

Dopap

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genau so! manchmal fällt mir die genaue Bezeichnung nicht ein.

Y=1+0 oder Y=0+1 wäre auch nur eine Hilfsbezeichnung gewesen Augenzwinkern

16.09.2019, 17:06

HAL 9000

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Die Anzahl Wurfwiederholungen, die bis zur Entscheidung benötigt werden, ist geometrisch verteilt mit $\begin{eqnarray*} p = 2k(1-k) \end{eqnarray*}$ , d.h., der Erwartungswert der Versuchsanzahl ist somit $\begin{eqnarray*} \mu = \frac{1}{p}=\frac{1}{2k(1-k)} \end{eqnarray*}$ .

Bei tatsächlich ungezinktem Würfel mit $\begin{eqnarray*} k=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ wäre das $\begin{eqnarray*} \mu=2 \end{eqnarray*}$ , das ist auch das Minimum. Je verkorkster (oder sagt man: gezinkter) der Würfel ist, desto länger braucht man: Bei $\begin{eqnarray*} k=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist es dann schon $\begin{eqnarray*} \mu=\frac{8}{3}\approx 2.67 \end{eqnarray*}$ .

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